§ 14. Übungsaufgaben zu Abschnitt I. 
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so zeigt die Vergleichung mit (12) und (4), daß (16) be 
friedigt wird ; wenn 
(17) 
dx 
du 
w 
~ <n dy iw . on dz 
wu 
gesetzt wird, wobei w noch eine ganz willkürliche Funktion 
von u bedeutet. Bezeichnen wir diese mit F {u), so erhalten 
wir aus (17) durch Quadratur als Gleichungen der Mini 
malkurven 
(18) 
— u 2 )F(u) du, 
4-u 2 )F(u)du, 
z — 
u F (u) du. 
Ersetzt man F(u) in (18) durch die dritte Ableitung 
einer anderen Funktion f{u), also durch f"\u), so lassen sich 
die Quadraturen in (18) durch Integration nach Teilen aus 
führen, und man erhält die Gleichungen der Minimal 
kurven in der Form 
x = \ (1 — w 2 ) f\u) 4- u f\u) — f{u), 
(19) y = ^ (14- u 2 ) f\u) — iu f'{u) + i f{u), 
Z — U f\u) — f (u). 
Wir formulieren das Resultat in dem 
Satz 3. Alle nicht geradlinigen Minimalkurven 
lassen sich durch den Parameter u in der Form (18) 
oder (19) darstellen unter der Voraussetzung, daß 
die Funktion F(u) bezw. f"\u) nicht gleich Null ist. 
Da die abwickelbare Tangentenfläche jeder Minimalkurve 
den unendlich fernen Kugelkreis enthält, so sieht man, daß 
die Schmieguugsebene in irgend einem Punkt einer Minimal 
kurve den unendlich fernen Kugelkreis berührt, was auch 
analytisch leicht bestätigt wird. 
§ 14. Übungsaufgaben zu Abschnitt I. 
Die Nummern der für die Lösung zur Anwendung kommenden 
Paragraphen sind in Klammern beigesetzt. 
1. Man stelle die Gleichungen der Kurve auf, welche 
die Meridiane einer Kugel unter konstantem Winkel trifft