64 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
(11) 
ßF%+y = 
außerdem ist nach Einl. (2) 
(12) 
a 2 + ß 2 + y 2 = 1. 
Zwischen den drei Größen a, ß, y bestehen nur diese 
zwei Gleichungen; es gibt somit für einen Flächenpunkt 
unendlich viele Wertsysteme a, ß, y und damit auch un 
endlich viele durch ihn gehende Linienelemente und Flächen 
tangenten. Sind ds x und ds 2 zwei derselben, so ergibt sich 
für den von zwei Linienelementen eingeschlossenen 
Winkel, den wir mit (ds x , ds 2 ) bezeichnen, nach Einl. (6) 
(13) cos {ds x , ds 2 ) = a x a 2 + ß 1 ß 2 + y x y 2 , 
wo a x , ß x , y ± ; a 2 , ß 2 , y 2 die Richtungskosinus von ds x und 
ds 2 sind. Nach (9) folgt weiter 
wenn hier, wie später, für eine Summe, die in x, y, z 
symmetrisch gebildet ist, zur Abkürzung nur das auf x be 
zügliche Glied angeschrieben wird. 
Aus (14) erhält man für sin (ds x , ds 2 ) in derselben Ab 
kürzung den Ausdruck: 
Die beiden Linienelemente stehen aufeinander senk 
recht, wenn cos {ds x ds 2 ) = 0 ist, also nach (14), wenn 
(17) 
Z dx x dx 2 = 0 
ist. 
Hieran schließt sich die Aufstellung des Oberflächen 
elements dJ. Wir definieren dasselbe als den doppelten 
Inhalt des unendlich kleinen Dreiecks, dessen Seiten ds x 
und ds 2 sind.