§ 15. Linien- und Flächenelemente, Tangentialebene, etc. 65 
Es ist also 
(18) dJ= sin (ds 1} ds 2 ) ds 1 ds 2 , 
wobei die Werte aus (15) und (7) einzutragen sind. 
Wie wir gesehen haben, gehen durch jeden Flächen 
punkt unendlich viele Tangenten. Den geometrischen Ort 
derselben erhält man, wenn man in (11) für die Richtungs 
kosinus a, ß, y die ihnen proportionalen Werte aus den 
Tangentengleichungen (10) einträgt; es ergibt sich 
(19) {X-x)F 1 + {Y-y)F 2 + {Z-z)F, = 0. 
Dies ist offenbar die Gleichung einer Ebene, wir haben also 
Satz 1. Alle Tangenten der Fläche F{x,y,z) = 0 
in einem Punkt P{x,y,z) liegen in einer Ebene; diese 
Ebene heißt die Tangentialebene (Tangentenebene, 
Berührungsebene) der Fläche im Punkt P*); sie ist 
durch Gleichung (19) gegeben. 
Da in der Tangentialebene offenbar auch alle durch P 
gehenden Linien elemente und damit alle Nachbarpunkte des 
Punktes P liegen, so ist sie als erste Annäherungsfläche 
zu bezeichnen. 
Anmerkung. Es kann für spezielle Punkte einer Fläche 
F(x, y, z) = 0 die Gleichung (19) der Tangentialebene dadurch illu 
sorisch werden, daß für einen solchen Punkt F u und F s ver 
schwinden. Solche Punkte heißen singuläre. Ohne auf sie 
näher einzugehen, bemerken wir hier, daß für einen solchen 
Punkt die erste Annäherungsfiäche nicht eine Ebene, sondern im 
allgemeinen ein Kegel zweiter Ordnung ist. Denn in diesem 
Fall tritt an die Stelle von (4) die Gleichung 
F n dx 2 F 22 dy 2 -\- F 3Z dz 2 -{-2 F 23 dy dz-\-2F 3l dz dx-\-2F i2 dxdy— 0. 
Hieraus folgt nach (9) und (10) als geometrischer Ort für die 
Tangenten 
F u (X - x) 2 + F 22 (Y-y) 2 + F 3S (Z-z) 2 
T* 2 F 23 (Y— y) (Z — ¿0 + 2 F 3i (Z-z)(X-x) 
+ 2F i2 (X — x)(Y—y) = 0, 
. h. ein Kegel zweiter Ordnung. 
Durch die Tangentialebene ist zugleich die Normale 
der Fläche bestimmt, d. h. die Gerade {PN in Fig. 8), die 
in P auf der Tangentialebene senkrecht steht. Bezeichnet 
*) In Fig. 8 mit T bezeichnet. 
Kommereil, Theorie der Eaumkurven. I. 
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