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§ 16. Das Schmiegungsparaboloid. 
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§ 16. Das Schmiegungsparaboloid. 
Die weiteren Betrachtungen, hei denen auch unendlich 
kleine Größen zweiter Ordnung berücksichtigt werden, knüpfen 
wir an die Flächengleichung in der Form 
(1) 8 = f{x,y), 
die sich aus F(x,y,z) = 0 durch Auflösen nach z ergibt. 
Führt man für die ersten und zweiten partiellen Ab 
leitungen von z nach x und y die üblichen Abkürzungen 
ein, nämlich 
dz dz d 2 z d 2 z n d 2 z 
dx ^’ dy dx 2 r ’ dxdy S ’ dy 2 ’ 
so nimmt die Gleichung der Tangentialebene § 15, (19) im 
Punkt P die Form an 
(3) Z—z=p{X—x) + q{Y—y). 
Die Gleichungen der Normalen werden 
(4) (X— x):(Y— y):[Z— z)=p:q: — 1. 
Ihre Richtungskosinus a, h, c sind bestimmt durch 
(5) a = wp, h = wq, c = — w, 
wo 
(6) w = 1 • 
yi+F+P 
Um nun die Fläche in der weiteren Umgebung eines 
ihrer Punkte P (d. h. mit Berücksichtigung der unendlich 
kleinen Größen zweiter Ordnung) zu untersuchen, geben wir 
dem Koordinatensystem eine spezielle Lage zu diesem 
Punkt, wodurch sich die zu entwickelnden Gleichungen 
wesentlich vereinfachen. Die gefundenen Resultate werden 
sodann später auf die allgemeine Lage des Koordinaten 
systems übertragen werden. Wir bezeichnen die Koordinaten 
in diesem System mit £, y, £ und legen zunächst den Ur 
sprung desselben in den Punkt P; dann lautet die Gleichung 
der Fläche, nach Potenzen von £ und yj entwickelt 
£ = a x £ + \ y + a 0 _ £ 2 + h 2 £?? + c 2 r\ 2 + a 3 £ 3 + h ä £ 2 r\ 
+ c 3 £rj 2 + d 3 rj 3