68 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x,y, z) = 0. 
Die Koeffizienten a x , h x , a 2 , h 2 u. s. w, stehen in ein 
facher Beziehung zu den für £ = r\ = 0 gebildeten partiellen 
Ableitungen (2) von £ nach £ und rj. Bezeichnen wir die 
Werte derselben mit dem Index 0, so ist 
(8) a x =Po> \ = Qo, 2a 2 = f 0 , b 2 = s 0 , 2c 2 = t 0 u. s. w. 
Man kann nun die Koeffizienten a x und b x gleich Null 
machen, indem man die £-Achse mit der Normalen, die 
£rj- Ebene also mit der Tangentialebene des Punktes P zu- 
saramenfallen läßt; dann ist nach (5) p 0 = a x — 0; q 0 = = 0. 
Gleichung (7) erhält so die Form 
(7 a) £ = a 2 £ 2 + 6 2 £i7 + c 2 ?7 2 -l 
Jetzt kann man noch durch eine passende Drehung des 
Koordinatensystems um die £-Achse den Koeffizienten von 
£?7 zum Verschwinden bringen. Man erhält so als ein 
fachste Gleichung der Fläche (mit andern Koeffizienten 
geschrieben) 
(9) 2(=^ + , £ + < h f‘ + ß a ? v + y s W + d tV * + ... 
Auf diese Form läßt sich also die Flächengleichung 
stets bringen, abgesehen von singulären Punkten. Sieht 
man nun £ und rj als unendlich kleine Größen an, so kann 
die Fläche bei allen Fragen, wo nur unendlich kleine Größen 
erster Ordnung in Betracht kommen (Tangenten u. s. w.) 
durch die Fläche £ = 0, d. h. die Tangentialebene ersetzt 
werden. In allen Fällen ferner, wo nur die Glieder bis zur 
zweiten Ordnung berücksichtigt werden müssen (Krüm 
mungen), kann die Fläche vertreten werden durch das Para- 
boloid 
£2 
(10) 2i = ^ + j8>' 
wo sowohl a 2 als ß 2 positiv, negativ oder unendlich sein können. 
Dieses Paraboloid ist also die zweite Annäherungs 
fläche. Es heißt das Schmiegungsparaboloid der Fläche 
im Punkte P, weil es sich der Fläche in P besonders an 
schmiegt. Seine Eigenschaften werden in den nächsten 
zwei Paragraphen entwickelt. 
Zunächst folgt noch ein Satz über die Tangentialebene, 
deren Gleichung £ — 0 ist. Die Schnittkurve derselben mit