§ 17. Indikatrix. Asymptotenrichtungen, etc. 71 
(mit zusammenfallenden Tangenten), je nachdem der erste, 
zweite oder dritte der genannten Fälle eintritt. Also 
Satz. Jede Fläche wird von der Tangential 
ebene eines Punktes in einer Kurve geschnitten. 
Diese Kurve hat im Berührungspunkte P einen 
Doppelpunkt, einen isolierten Punkt oder einen 
Rückkehrpunkt, je nachdem das Schmiegungspara- 
boloid in P ein hyperbolisches, elliptisches oder 
ein parabolischer Cylinder ist. 
Anmerkung. Man sieht leicht, daß jede der beiden Ge 
raden des Linienpaares lll) in P mit der Fläche drei konsekutive 
Punkte gemein hat; die durch diese beiden Geraden definierten 
Fortschreitungsrichtungen heißen aus einem später anzugebenden 
Grund Asymptotenrichtungen. 
17. Indikatrix. Asymptotenrichtungen, Haupt- 
krüinmungsrichtungen, konjugierte Richtungen. 
Wir benutzen das Schmiegungsparaboloid, um auf der 
Fläche z = f[x,y) gewisse charakteristische Richtungen 
durch einen Flächenpunkt und mit Hilfe derselben gewisse 
wichtige Kurvensysteme zu definieren. 
Die Gleichung der Fläche war, bezogen auf das in § 16 
eingeführte Koordinatensystem £, rj, £, dargestellt durch § 16, 
Gl. (9); die Gleichung des zugehörigen Schmiegungspara- 
boloids für den Koordinatenurspruug P war 
(1) 
rj 2 
w 
Wir schneiden nun das Paraboloid (1) durch eine Ebene 
parallel der Tangentialebene des Punktes P, also parallel 
der I^-Ebene im Abstand £ = e, wo e eine sehr kleine 
Größe ist. Die so erhaltene Schnittkurve heißt nach Dupin 
die Indikatrix der Fläche im Punkt P, weil sie die wich 
tigsten Eigenschaften der Fläche in diesem Punkte anzeigt. 
Die Indikatrix ist analytisch bestimmt durch (1) in 
Verbindung mit der Gleichung £ = e. Die Projektion der 
Indikatrix auf die f^-Ebene*) ist mit der Indikatrix selbst 
kongruent, und ist ein Kegelschnitt, dessen Gleichung lautet 
') S. Fig. 10 a—c; die Projektion der Indikatrix ist gestrichelt.