§ 18. Hauptkrümmungsradien. Hie Sätze von Euler etc. 75 
Die Ebene rj'— 0 schneidet ans dem Paraboloid die 
Parabel aus 
(3) 
Nennen wir B den Krümmungsradius dieser Parabel im 
Ursprung, so ist*) 
sin 2 Cp 
1 
cos 2 cp 
(4) 
R 
Dadurch ist der Krümmungsradius R eines Normal 
schnitts, dessen Ebene mit der ££-Ebene den Winkel cp 
bildet, gegeben. 
Wir bestimmen nun die Werte von cp, für welche 
B ein Maximum oder Minimum wird, indem wir 
setzen. Wir erhalten 
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Die gesuchten Werte von cp sind also cp = 0 und <p = ^’ 
Hieraus folgt der 
Satz 1. DieKrümmungsradien der Hauptschnitte 
in einem Punkt P der Fläche stellen den kleinsten 
bezw. größten unter allen Krümmungsradien der 
verschiedenen Normalschnitte dar. Man nennt daher 
diese Radien die Hauptkrümmungsradien**) und ihre 
reziproken Werte die Hauptkrümmungen. 
Bezeichnen wir die Hauptkrümmungsradien mit P, und 
B 2 , so folgt aus (4) für cp = 0 und cp = ^ 
(5) B 1 = a 2 , P 2 — ß 2 > 
und aus (4) und (5) die Gleichung von Euler 
(5) 
(6) 
B B i ^ B 2 
*) Yergl. S. S. YIII, Simon, Analytische Geometrie der 
Ebene, § 53, S. 278. 
**) FM, und PM 2 in Fig. 11.