82 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
In § 17 waren die Richtungen PA' und PP' zweier kon 
jugierten Durchmesser der projizierten Indikatrix als kon 
jugierte Richtungen, und die zugehörigen Normalschnitte 
AP C, PPP als konjugierte Schnitte bezeichnet. Die 
Ebenen dieser beiden Schnittkurven schneiden aus der Ebene 
der Indikatrix die konjugierten Durchmesser AC und PP, 
und aus der Fläche die Linienelemente PA und PP aus, 
welche bis auf unendlich kleine Größen zweiter Ordnung 
mit PA' und PP' zusammenfallen. Denn da AA' = PP' = e 
und 2£= , +-L ist, so ist e, und damit auch AA' und 
a- ¡P 
PP' von zweiter Ordnung unendlich klein, wenn £ und r\ 
von erster Ordnung unendlich klein sind. Wir konstruieren 
nun im Endpunkt A des Linienelements PA die Tangential 
ebene an die Fläche, d. h. an das Schmiegungsparaboloid, 
welches ja die Fläche in der Umgebung von P ersetzt. 
Diese Tangentialebene geht jedenfalls durch die Tangente PF 
der Indikatrix im Punkte A; PF ist aber parallel PP. 
Die Tangentialebene ist also parallel PP und PP', und 
ebenso ist ihre Schnittgerade P'F' mit der Tangentialebene 
des Punktes P parallel zu PP', d. h. mit der zu PA', 
bezw. PA konjugierten Richtung. Ebenso zeigt man, daß 
der Schnitt der Tangentialebene in P und der Tangential 
ebene in P eine zu PA' parallele Gerade gibt. 
Diese Betrachtung ermöglicht nun, konjugierte Richtungen 
unabhängig von der Indikatrix und von der bisher an 
genommenen speziellen Lage des Koordinatensystems für 
jeden beliebigen Punkt einer Fläche F{x,y,z) — 0, oder 
Z—f {x, y) zu definieren, nämlich folgendermaßen: 
Konjugiert heißen zwei von einem Punkt aus 
gehende Linienelemente ds x und ds 2 einer Fläche, 
wenn die Tangentialebenen in den Endpunkten des 
einen Linienelements (etwa ds x ) sich in einer Ge 
raden schneiden, die parallel der Richtung des 
andern Linienelements ds. 2 ist. 
Oder kürzer 
Die Tangentialebenen zweier Nachbarpunkte P 
und P' einer Fläche schneiden sich in einer Ge 
raden, deren Richtung zu PP' konjugiert ist. 
Aus den am Schluß von § 17 angeführten Sätzen folgt 
weiter: