86 II. Abschnitt. Flächen in der Form F(x, y, z) = 0. 
gehörigen sphärischen Koordinaten a, b, c und deren 
Differentiale benutzt. 
Wir geben daher zuerst einige später oft zu benutzenden 
Formeln für diese Größen. 
Die Richtungskosinus a, b, c sind durch die identische 
Gleichung 
(2) 
a- + b 2 + c 2 = 1 
verbunden. 
Aus (1) und § 15, (4) folgt für die Fortschreitungs- 
richtung dx:dy: dz auf der Fläche die Bedingung 
a dx + b dy + c dz = 0 
oder, mit Benutzung des in § 15 eingeführten Summen 
zeichens Z, abgekürzt 
(3 a) 
Zadx — 0. 
Durch Bildung des totalen Differentials folgt aus (3) 
(4) da dx + db dy + de dz + a d 2 x + b d 2 y + c d 2 z = 0, 
oder kurz 
(4 a) 
Z da dx + Za drx = 0. 
Hierbei ist 
(5) 
Durch Einführung der Werte aus (5) stellt sich das 
erste Glied Zdadx in (4 a) als homogener Differential 
ausdruck zweiten Grades in dx, dy, dz dar. 
Weitere Formeln lassen sich aus der Identität (2) ab 
leiten. Durch totale Differentiation folgt 
(6) ada-\-bdb-\-cdc = 0 oder Zada = 0. 
Durch Bildung des totalen Differentials folgt aus (6) 
(7) Zda 2 -\- Zad 2 a = 0. 
Bezeichnet man alle auf die Kugel bezüglichen Größen 
durch den Index 0, ihr Linienelement also mit ds 0 , so ist