§ 15. Satz von Bonnet. 
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dx dx dy dy 6062 , . .. ... . . . 
-k—, ~k~, -t—, • und schließlich hieraus x, y, 0 
du dv du dv du dv ’ 
als Funktionen von u und v durch Quadraturen. Bon net 
hat nun folgenden wichtigen Satz aufgestellt: 
Satz 1 (von Bonnet). Eine Fläche ist bis auf 
ihre Lage im Raum und die Spiegelung an einer 
Ebene vollständig bestimmt, wenn ihre sechs Funda 
mentalgrößen so bestimmt sind, daß sie den Diffe 
rentialgleichungen (1) bis (3) genügen. 
Wir beweisen den Satz geometrisch: Fürs erste sind 
zwei Flächen F und Pj, die dieselben Fundamentalgrößen 
E, F, G besitzen nach § 11, Satz 1 aufeinander abwickel 
bar und daher auch aufeinander konform abgebildet, und 
zwar nach § 8, Schluß entweder in gleichem Sinne oder in 
entgegengesetztem Sinne. Im letzteren Falle nehme man zu F x 
in Beziehung zu einer beliebigen Ebene (z. B. XF-Ebene) 
das Spiegelbild F[; F[ besitzt nun offenbar auch dieselben 
sechs Fundamentalgrößen wie F und ist auf F abwickelbar, 
aber nunmehr so, daß die konforme Beziehung eine solche in 
gleichem Sinne ist. Jetzt läßt sich aber zeigen, daß F und 
F[ kongruente Flächen sind. Denn sind P und Pf ent 
sprechende Punkte von F und Pf, so haben nach § 3, (17) 
entsprechende Normalschnitte in P und Pf gleiche Krüm 
mungen, oder die Schmiegungsparaboloide in den ent 
sprechenden Punkten sind kongruent. Überzieht man nun 
P 1 und Pf mit dem Netz der Parameterkurven, so stoßen 
in jedem Flächenpunkte vier unendlich kleine Vierecke zu 
sammen. Legt man eines der von P ausgehenden Vierecke 
auf das entsprechende in Pf, so müssen die drei anderen 
Paare entsprechender Vierecke wegen der Kongruenz der 
Schmiegungsparaboloide zusammenfallen, ohne daß die 
Flächen verbogen werden. Daraus folgt, daß immer 
ein Viereck auf das entsprechende andere fällt, ohne daß 
die Flächen eine Biegung erfahren. Die beiden Flächen F 
und Pf sind also kongruent, womit der Beweis des Satzes 
von Bonnet erledigt ist. 
Der Satz von Bonnet bildet die Grundlage für die 
Lösung der Aufgabe, Flächen von gegebenen Eigen 
schaften zu finden. Der Gang der Lösung ist folgender. 
Zuerst wähle man ein bestimmtes, für die Aufgabe 
passendes System von Parameterkurven u, v; dies gibt zwei