92 I- Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Relationen zwischen den sechs Fundamentalgrößen, eine dritte 
erhält man durch die gegebene Eigenschaft der Fläche. Da 
weiter die drei Gleichungen (1) bis (3) bestehen, so hat man 
sechs Gleichungen zur Bestimmung der sechs Fundamental 
größen. Durch Integration der Systeme § 2, (18), (18a) 
und (20) erhält man schließlich die Koordinaten x, y, z 
eines Flächenpunktes als Funktionen der Parameter u, v 
und damit die Fläche. 
Ehe wir eine Anwendung hiervon machen, stellen wir 
die Gleichungen für das Linienelement, für das Krümmungs 
maß und die mittlere Krümmung, sowie die Gleichungen (1) 
bis (3) für einige spezielle Parameterkurven zusammen. Die 
sehr einfachen Beweise überlassen wir dem Leser. 
1) Die Parameterkurven seien die Minimallinien. 
Es ist dann 
(4) 
(5) 
E=G = 0, ds 2 = 2Fdudv, 
, 2 B' ^ I)T)" — 1F 2 1 «9 2 lg F 
' l ~ F ’ 5 ~ F 2 “ F dudv ’ 
i en_ e /D'\ i dB" e /m 
B' dv ~ du g \FJ’ B’ du ~Ar lg \F7 
2) Die Parameterkurven seien die Krümmungslinien. 
Es ist dann nach § 3, (11), (19) und (20) 
F=B' = 0, ds 2 = Edu 2 -\- Gdv 2 , 
1 B 1 B" da 1 dx da 1 dx 
{b ’ R^E’ jR 2 = 6r ’ = _ 'R^dü’ ~dv = "R 2 ~dv 
nebst den entsprechenden Gleichungen in & und c, y und z. 
Die Mainardischen Gleichungen lauten 
(7) 
dB 1 
(B , 
B"\ 
<dE 
dB" 
1 
(B , 
B"\ 
>dG 
dv 2 
G J 
dv ’ 
du 
2 
\F + 
G ] 
du 
(8) 
Die Gaußsche Gleichung endlich 
1 dfQ\ d ( 1 dfG 
d 
du 
fF 
du 
d 
M/S 
dv 
~1cfEG = 
BB" 
iEG 
Als erste Anwendung des Vorhergehenden stellen wir uns 
nunmehr die Aufgabe, die sechs Fundamentalgrößen für die 
Flächen konstanter mittlerer Krümmung aufzustellen.