§ 16. Centraflächen. 
Die Gaußsche Gleichung (3) lautet 
(17) J-^ = sin2ft). 
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du dv 
Aus (17) bestimmt sich 2co als Funktion von u, v, 
worauf die Fundamentalgrößen sich aus (16) ergeben. Das 
ganze Problem der Bestimmung der Flächen von konstantem 
negativen Krümmungsmaß ist also auf die Integration der 
Gleichung (17) zurückgeführt. 
§ 16. Centraflächen. 
Wie in Bd. 1, § 19 gezeigt wurde, ist das System 
der Krümmungslinien einer Fläche C dadurch ausgezeichnet, 
daß die Flächennormalen längs jeder derselben eine ab 
wickelbare Fläche bilden. Wir betrachten nun die eine 
Schar der Krümmungslinien und denken uns für jede ein 
zelne die abwickelbare Fläche mit ihrer Rückkehrkante kon 
struiert: der Ort dieser Rückkehrkanten wird wieder eine 
Fläche C x sein. Auf dieselbe Art wird durch das andere 
System der Krümmungslinien eine Fläche C 2 erzeugt. Ana 
lytisch bilden C ± und C 2 eine einzige Fläche, nämlich den 
geometrischen Ort aller Hauptkrümmungscentra von C. 
Man nennt daher diesen Ort die Centrafläche von C, 
dieselbe besteht aus zwei Mänteln C l und 0 2 . 
Wir wenden unsere bisherigen Ergebnisse auf den ersten 
Mantel Cj an, indem wir auf der Fläche C die Krümmungs 
linien als Parameterkurven nehmen. 
Entspricht der Hauptkrümmungsrichtung dv — 0 der 
Hauptkrümmungsradius JR 1 , und sind x x , y t , z x die Koordi 
naten des zugehörigen Hauptkrümmungsmittelpunktes, so 
hat man 
(1) x 1 = x + B 1 a, y 1 = y + B 1 b, z 1 =z + B i c, 
wo a, h, c, wie gewöhnlich, die Richtungskosinus der Flächen 
normalen bedeuten. Läßt man nun u und v sich ändern, 
so beschreibt der Punkt x v y v z x den ersten Mantel C x 
der Centrafläche von C. Da aber u, v die Parameter 
der Krümmungslinien sind, so hat man nach § 3, (11), (19) 
und (20) 
(2) 0, D'= 0, ds 2 = E du 2 + Gdv 2 ; 
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