2 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Von diesen Funktionen setzen wir voraus, daß sie von 
einander unabhängig seien; eine Ausnahme hiervon soll nur 
in einzelnen Punkten und Kurven der Fläche stattfinden. 
Bemerkung. Durch Elimination von u und v aus (1) erhält 
man wieder die Flächengleichung F (x, y, z) — 0. Umgekehrt kann 
man von dieser Gleichung zu (1) übergehen und zwar auf unendlich 
viele Arten. Man setze zu diesem Zweck x = f{u,v), y = cp (u,v), 
wo f und 9? zwei ganz willkürliche Funktionen von u und v sind. 
Trägt man die Werte von x und y in die Gleichung F {x, y, z) ein 
und löst nach z auf, so ergibt sich eine Gleichung z = y> {u, v); 
z. B. kann die Gleichung z — [x, y) folgendermaßen in Parameter 
form geschrieben werden x — u, y — v, z = y> (u, v). 
Jedem Wertepaar u = a, v = b (« und h Konstanten) 
entspricht im allgemeinen ein Punkt (bezw. eine endliche 
Anzahl von Punkten) der Fläche, dessen Koordinaten sich 
aus (1) ergeben, wenn man u = a, v = b setzt. Wir be 
zeichnen den Punkt kurz durch [a, b). 
Jedem Wert v = b entspricht eine Kurve auf der 
Fläche, deren Gleichungen sind 
(2) x = f{u,b), y = cp(u, b), z = ip{u,b), 
wo u der variable Parameter der Kurve ist. 
Ebenso entspricht jedem Wert u = a eine Kurve mit 
den Gleichungen 
(3) x=f{a,v), y = cp{a,v), z = yj{a,v), 
wo v der variable Parameter ist. 
Man nennt die Kurven v=b (2) und u — a (8) Para- 
meterkurven der Fläche; gibt man den Konstanten a und b 
in (3) und (2) alle möglichen Werte, so erhält man zwei 
Scharen von Parameterkurven, welche die Fläche überziehen. 
Da durch Angabe der Parameterwerte u und v (u = a, v = b) 
ein Punkt der Fläche bestimmt ist, — es ist der Schnitt 
punkt der Parameterkurven u = a und v = b, — so nennt 
man die Parameter u, v auch die krummlinigen (Gauß 
schen) Koordinaten des Flächenpunkts. 
Eine Gleichung zwischen den Parametern u, v 
(4) C P {u, v) = 0 
definiert eine einfach unendliche Folge von Punkten der 
Fläche, oder eine auf der Fläche liegende Kurve (die 
natürlich nicht zu den Parameterkurven gehört); denn man 
kann aus (4) v als Funktion von u entnehmen und in (1)