§ 17. Die allgemeine Flächenkurve. Differentialparameter. 101 
aus-^—, so ergibt eine kurze Rechnung die Richtigkeit 
von (20). 
Setzt man die gefundenen Werte in die rechten Seiten 
der Gleichungen (5) — (11) ein, so sind die Elemente der 
Flächenkurve in der oben angegebenen Weise dargestellt, 
wobei sich, wie man leicht sieht, der Proportionalitätsfaktor l 
überall heraushebt. 
In § 5 wurde gezeigt, daß die in den Differentialen 
von u und v gebildeten Größen ds 2 , L, M, N gegenüber 
einer Transformation der Parameter invariant sind. Es läßt 
sich schließen, daß diese Invarianz auch dann besteht, wenn 
statt dieser Differentiale die Ableitungen von cp eingeführt 
werden. Die Transformationsformeln seien wieder 
(22) m = P(w 1 ,v 1 ), v=Q(u 1 ,v i ). 
Hierdurch gehe die Funktion cp der Parameter u, v über 
in eine andere Funktion cp x der neuen Parameter %, v t , so 
daß also identisch die Gleichung besteht 
(23) <p{u,v) = <p [P (%,v x ),Q (mj_, %)] = <p t (%, v x ). 
Es muß nun gezeigt werden, daß vermöge der Trans- 
formationsforraeln (22) die rechte Seite jeder der Gleichungen 
(5) — (11), gebildet in den Ableitungen von cp, übergeht in 
denselben Ausdruck, gebildet in den neuen Fundamental 
größen E x , P\, G 1 ; D x , Di, D" und den Ableitungen von 
cp x nach u x und v x . Der analytische Beweis ist ganz ähnlich 
dem in § 5 geführten, wobei die aus (22) und (23) folgenden 
Relationen zu benutzen sind 
(24) 
Ai 
6u x 
A P I A 
du 1 dv 
6 
<Pi 
^ s JLp 4.ÜS-o 
£' v, du - cv * 
Es mag genügen, die Rechnung an dem Beispiel der 
normalen Krümmung durchzuführen. Es ist nach (16) und (17) 
A 
A 
Ai 
öv x 
2 Q 
— 2 D[ 
<Pi Ai 
6v x 6u x 
D'\ 
Ai 
du x 
ds{ 
A 
Ai 
dv x 
2 A 
dcp x 6cp x 
ßv x du x 
A 
Ai 
du x