104 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
(30) V V) = 
ßcp ßxp Iß cp ßxp ßxp ßcp) ^ ßcp ßxp 
ßv 6v \ßu ßv^ ßu ßv)^ ßu ßu 
EG —F 2 
2) Der sogenannte Differentialparameter zweiter 
Ordnung 
1 
= yEG—F2 
Der Beweis für die Invarianz von y (cp, xp) ist dem für 
die Invarianz von von A'cp gegebenen analog; für A"cp wird 
derselbe dadurch geführt, daß man zunächst die in runden 
Klammern stehenden Ausdrücke transformiert und die ent 
stehenden Gleichungen partiell nach u und v differenziert. 
Die Ausrechnung im einzelnen übergehen wir. 
Für manche Rechnung ist es zweckmäßig, die Funktion 
ß<p ßcp 
ßu ßv 
ßxp ßxp 
ßu ßv 
zu benutzen, die, wie man leicht zeigt, ebenfalls ein Diffe 
rentialparameter ist und sich durch A'cp, A'xp, y {cp, xp) 
folgendermaßen ausdrückt 
(38) & {cp, xp) = ]/(A'9o) (A'xp) — y (cp, xp) 2 . 
Aus der Definition der Differentialparameter folgt, daß 
man aus jedem derselben beliebig viele weitere bilden kann, 
wenn man für die Funktionen cp, xp, % . . . irgend welche 
Differentialparameter einsetzt, oder, wie man sich auch aus 
drückt, wenn man die Operationen A', A", V auf irgend 
welche Differentialparameter anwendet. Historisch sei an 
geführt, daß überhaupt jeder Differentialparameter auf diese 
Weise dargestellt werden kann. 
Die Wichtigkeit der Differentialparameter für die Theorie 
der Flächen beruht nun hauptsächlich auf folgenden 
beiden Eigenschaften 
1) Es lassen sich eine Reihe wichtiger Sätze über Kurven 
und Kurvensysteme auf Flächen in einfacher W eise mittelst 
der Differentialparameter ausdrücken. 
(32) 
# (cp, xp) 
iEG — F* 
ßcp ßcp 
Cr -v JO -TT— 
ßu ßv 
l/EG-P* I 
^EG — E- j