§ 18. Anwendung der Differentialparameter auf Kurven. 107 
(6) 
1 _ A "<p / 1 \ 
? r P ]/A'(p 
Damit ist bewiesen der 
Satz 1, Die geodätische Krümmung jeder 
Flächenkurve (p{it,v) = a ist ein Differentialpara 
meter. 
Bezeichnen wir diesen Differentialparameter mit ts!"y, 
so folgt aus (6) 
Satz 2. Die Bedingung dafür, daß die Kurven 
(p{u,v) = a ein System von Linien konstanter geodä 
tischer Krümmung bilden, ist k'"q) = F{(p), wo F{cp) 
eine Funktion von <p ist. 
Ferner 
Satz 3. Die Bedingung dafür, daß die Kurven 
(p{u,v) — a ein System geodätischer Linien bilden, 
ist \'"(p> = 0. 
Weitere Anwendungen schließen sich an die Dar 
stellung des Linienelements durch Differentialparameter. 
Führen wir die Kurven <p {u, v) — a und xp (u, v) = h (die 
aber jetzt nicht mehr orthogonal sein sollen) als Parameter 
kurven ein, so lauten die Transformationsformeln 
(7) u x = cp (w, v), v x = xp {u, v). 
Das transformierte Linienelement sei 
(8) ds\ = F t du\ +2 F x du 1 dv l F G x dv\. 
Aus § 17, (19) und (30) folgt nun 
A\ui 
JE.6.-F*.’ Vl ’ ”' >= RTG.-I'T A ‘^ = Ji.G.' 
-Fl 
Die Auflösung dieser Gleichungen nach E x F x G x er 
gibt unter Benutzung von § 17, (33) 
(9) 
Ei 
A[v x 
*1- 
^iK»i) 2 ’ 
r = A i% 
1 #1 {%> %) 2 
Geht man mit diesen Werten in (8) ein, und ersetzt 
gleichzeitig nach (7) u x und v ± durch cp und xp, dit x und di\ 
durch dtp und dxp, so sind wieder die alten Variabein ein- 
geföhrt, an Stelle Af, d x usw. treten A', d usw., und wir 
haben