§ 19. Anwendung der Diiferentialparameter etc. 109 
zu integrieren und dadurch ein System geodätischer Paral 
lelen zu ermitteln. Bestimmt man nun zu diesen die 
Orthogonal trajektorien, so sind dies die geodätischen Linien. 
Diese aber lassen sich ohne weitere Integration finden, 
falls eine Lösung cp{u,v,a) von (12) bekannt ist, und 
die willkürliche Konstante a noch enthält, und zwar nicht 
bloß additiv. Dann läßt sich nämlich zeigen, daß 
d 
(13) -^cp{u,v,a) = h 
mit den beiden willkürlichen Konstanten a und h die all 
gemeine Gleichung der geodätischen Linien ist. 
Zum Beweis haben wir nach Satz (4) nur zu zeigen, daß 
d cp 
V\<P> 
da 
ist. Dies ist in der Tat der Fall. Denn cp genügt der 
Gleichung (12); da aber die rechte Seite von a frei ist, so 
ist 
6 
da 
\övj dv du 
f d 9?\ 2 
\du) 
Führt man die partielle Differentiation nach a aus, so 
erhält man eben y (95, ^ 
da 
= 0. Also ist in der Tat die 
Gleichung (13) mit den beiden willkürlichen Konstanten a 
und h das allgemeine Integral der Differentialgleichung der 
geodätischen Linien. 
19. 
Anwendung der Diiferentialparameter auf die 
Deformation der Flächen. 
Zum Schluß wenden wir die Differentialparameter auf 
die Verbiegung der Flächen an, insbesondere zur Ent 
scheidung der in § 11 noch offen gelassenen Frage, in welchem 
Falle zwei gegebene Flächen ineinander deformier 
bar sind. Zunächst wollen wir die schon in § 17 gemachte 
Bemerkung, daß die Differentialparameter Biegungsinvarianten 
sind, noch eingehender begründen. 
Es seien die Linienelemente zweier Flächen F und F x , 
die aufeinander abwickelbar sind 
, 1