HO I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
(1) ds 2 — E du 2 + 2 Fdu dv -f- Gr dv 2 
(2) ds\ = JE i du\ +2 F x du l dv t -f G i dv\. 
Es müssen dann die Linienelemente ineinander trans 
formierbar sein, d. h. es müssen nach § 11, Satz 1 zwei 
voneinander unabhängige Gleichungen von der Form 
(3) c (u, v) = Ci (%, %), ■&{u,v) = ft x {u xf v x ) 
existieren, derart, daß durch Auflösung derselben nach einem 
Paar der Parameter, etwa u und v, und durch Einführung 
der gefundenen Werte in (1) das Linienelement (1) in das 
Linienelement (2) übergeht. 
Es möge nun auf der Fläche F eine Anzahl Kurven 
<p{u,v) = a; yj {u,v) = b; %{u,v) = c . . . gegeben sein, die 
durch die Gleichungen (3) in die Kurven cp x [u l ,v l ) = a] 
Wi v i) = &; Xi ( M i> v i) — c... auf der Fläche F x übergehen. 
0 %. •.) möge ein DiiFerentialparameter sein, der die 
Funktionen enthalte. Nach der Definition der 
Differentialparameter ist dann vermöge (3) 
<9 {<p, W, % ) = 0i (<Pi, Wn Xi • • •)» 
wobei der Index 1 andeutet, daß der Differentialparameter 0 1 
für das Linienelement ds 1 zu bilden ist. Der Wert, den 
der Differentialparameter im Punkte {u, v) der Fläche F 
annimmt, ist also gleich dem Werte desselben im ent 
sprechenden Punkte (u x , v t ) der verbogenen Fläche F x und 
bleibt daher bei jeder Verbiegung ungeändert. Es folgt also 
Satz 1. Ein Differentialparameter stellt eine 
Eigenschaft von Flächenkurven dar, die sich bei 
einer Verbiegung nicht ändert. 
Es folgen hieraus unter Berücksichtigung der in § 18 
abgeleiteten Resultate die bekannten Sätze, daß die geodä 
tische Krümmung einer Plächenkurve sich nicht ändert, daß 
die geodätischen Linien erhalten bleiben u. a.; auch läßt 
sich zeigen, daß der Winkel zweier Kurven ein Differential 
parameter ist, ferner, daß ein Isothermensystem bei einer 
Verbiegung wieder in ein solches übergeht (s. § 20, Aufg. 41 
und 42). 
Wir können nun mit Hilfe der Differentialparameter 
entscheiden, ob die Linienelemente zweier gegebenen 
Flächen ineinander transformierbar, die zugehörigen 
Fläch enalsoa ufe inan derab wickelbar sind oder nicht.