§ 19. Anwendung der Differentialparameter etc. m 
Zu diesem Zweck ist zu zeigen, wie man zwei Glei 
chungen von der Form (3) erhält, mittels deren die Linien 
elemente ineinander überführbar sind, und unter welchen 
Bedingungen dies möglich ist. 
Eine solche Gleichung erhält man sofort, wenn man 
bedenkt, daß das Krümmungsmaß in entsprechenden Punkten 
zweier aufeinander abwickelbarer Flächen denselben Wert 
hat. Bilden wir daher für jede der beiden Flächen nach 
§ 11, (9) oder (10) aus den Koeffizienten des Linienelements 
das Krümmungsmaß Je, so erhalten wir durch Gleichsetzen 
der gefundenen Werte 
(4) Je {u, v) = Je 1 (%, t\). 
Dies ist die erste Gleichung von der Form (3). Dabei 
schließen wir den Fall aus, daß Je und Je 1 in allen Punkten 
denselben konstanten Wert haben; in diesem Falle sind näm 
lich, wie sich in Abschnitt II, § 27 zeigen wird, die Flächen 
stets aufeinander abwickelbar, und zwar auf unendlich viele 
Arten. Ist Je nicht konstant, so erhalten wir eine zweite 
Gleichung, wenn wir z. B. setzen 
(5) A'Je == 
Nun sind drei Fälle möglich 
1) Die Gleichungen (4) und (5) widersprechen sich, 
dann sind die beiden Flächen nicht aufeinander ab 
wickelbar. 
2) Die beiden Gleichungen sind voneinander unab 
hängig, ohne sich zu widersprechen; in diesem Falle 
kann durch rein algebraische Operationen entschieden werden, 
ob die Linienelemente durch (4) und (5) ineinander transfor 
mierbar sind oder nicht, ob also die Flächen aufeinander 
abwickelbar sind oder nicht. 
3) Die Gleichungen (4) und (5) sind voneinander 
abhängig; dies ist der Fall, wenn A'Je reine Funktion 
von Je, und Adieselbe Funktion von Je 1 ist, also 
(6) A'* = /!(*), A i/n = №). 
Dann genügen die Gleichungen (4) und (5) nicht zur 
Entscheidung der Frage der Deformierbarkeit; in diesem 
Falle nehmen wir zu (4) als zweite Gleichung hinzu 
(7) A"Jc = AUi .