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§ 20. Übungsaufgaben zu Abschnitt I.
wo V eine willkürliche Funktion von v ist. Ersetzt man
jVdv durch v, was einer passenden Wahl des Parameters v
entspricht, so erhält das Linienelement der ersten Fläche
die Form
(12) ds' 2 = du 2 J r e 2 J (p ^ du dv 2 ,
und ebenso das der zweiten Fläche
(13) dsl^dul + e^^^dvl
Die beiden ersten Bedingungen (11) sind nun, wie man
sich leicht überzeugt, für die Linienelemente (12) und (13)
von selbst erfüllt. Setzt man nun
(14) u = u 1} v = + v x -\-a,
wo a eine beliebige Konstante ist, so sieht man, daß die
beiden Linienelemente (12) und (13) ineinander transformiert
werden, die beiden Flächen also in der Tat aufeinander
abwickelbar sind. Die Form der Linienelemente zeigt aber
auch nach § 6, (14), daß beide Flächen auf eine Rotations
fläche abwickelbar sind, wobei die Kurven u = konst., bezw.
u x = konst, mit den Parallelkreisen, die Kurven v = konst.,
bezw. v x = konst, mit den Meridianen der Rotationsfläche
zur Deckung kommen.
Bemerkung. Die willkürliche Konstante a in (14) lehrt,
daß die beiden Flächen, nachdem sie aufeinander abgewickelt
sind, noch längs der Kurven u = konst, übereinander weggeschoben
werden können: dies entspricht der Tatsache, daß jede Rotations
fläche längs der Parallelkreise in sich verschiebbar ist. Das
Doppelzeichen von vi in (14) erklärt sich aus dem Verhalten einer
Rotationsfläche gegenüber einer Spiegelung an einem beliebigen
Meridian; durch eine solche kommt sie nämlich mit sich selbst
zur Deckung.
Das Resultat ist also, daß mit Hilfe der Differential
parameter durch bloße Differentiationen und Elimi
nationen die Frage entschieden werden kann, ob
zwei gegebene Flächen aufeinander abwickelbar sind,
oder nicht.
§ 20. Übungsaufgaben zu Abschnitt I.
Die jeder Aufgabe beigefügten Zahlen verweisen auf die für
die Lösung in Betracht kommenden Paragraphen.
1) Die Gleichungen einer Kugel mit geographischer
Länge und Breite als Parametern aufzustellen und das
Linienelement zu bilden (1).
Kommerell, Theorie der Raumkurven, II. 8
