116 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform.
Meridiankurve ist die sogenannte Traktrix (Evolvente der
Kettenlinie), die zugehörige Rotationsfläche heißt Pseudo-
sphäre. (Vgh Abschn. II, § 28). Man zeige, daß das Krüm-
mungsmaß dieser Fläche einen für alle Punkte konstanten
negativen Wert hat, und daß die Rotationsflächen, die auf
sie abwickelbar sind, mit ihr identisch sind, daß sich also
die Fläche auf sich selbst ab wickeln läßt (11, 12).
25) Man drücke das Krümmungsmaß k durch den in
§ 13, (7) auf tretenden Winkel <x> aus (13).
26) Man wende die allgemeinen Betrachtungen über die
Liouvilleschen Flächen auf das Ellipsoid und auf die
Rotationsflächen an, indem man beidemal die Krümmungs
linien zu Parameterkurven wählt. Man leite die in Bd. I,
§ 25, (7) und § 26, (15) und (16) aufgestellten Gleichungen
her (13).
27) Man integriere für die Kugel die Differentialgleichung
der geodätischen Linien § 14, (7) und leite aus dem Integral
die Fundamentalformeln der sphärischen Trigonometrie her (14).
(S. auch § 29).
28) Jede Fläche, auf der es zwei Scharen geodätischer
Linien gibt, die sich allenthalben orthogonal schneiden, ist
auf die Ebene abwickelbar (11, 13, 14).
29) Jede Fläche, die vier lineare Scharen geodätischer
Linien besitzt, d. h. bei der durch vier unabhängige Glei
chungen von der Form
o>iu J r b i v = konst. (i = 1, 2, 3, 4)
je oo 1 geodätische Linien dargestellt werden, ist eine Fläche
von konstantem Krümmungsmaß (13, 14). (Finsterwalder.)
30) Die geodätischen Linien des Rotationskegels zu
bestimmen (13, 14).
31) Man stelle die Gauß-Mainardi sehen Gleichungen auf
a) für die Asymptotenlinien als Parameterkurven
(D = D"= 0),
b) für isometrische Parameter (.F=0; JE= Gr = X),
c) für geodätische Parameter {JE = 1; F= 0), (15).
32) Man behandle die erste Anwendung in § 15 ähnlich
wie dort, aber mit den Minimallinien als Parameterkurven.
Die entstehende Differentialgleichung wird für den Fall h = 0
(Minimalflächen) integrabel (15).
33) Man suche die Fundamentalgrößen für die Flächen
