118 I. Abschnitt, Untersuchung von Flächen in Paranieterform, 
M 
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43) Sind die Kurven der Schar cp = konst. auf der 
Fläche zugleich geodätisch parallel und von konstanter geo 
dätischer Krümmung, so bilden sie mit ihrer Orthogonal 
schar ein isometrisches System (18). 
44) Sind umgekehrt die Kurven der Schar 99 = konst. 
zugleich geodätisch parallel und isometrisch, so ist ihre geo 
dätische Krümmung konstant (18). 
45) In den beiden letzten Fällen ist die Fläche auf 
eine Rotationsfläche abwickelbar, wobei die Linien konstanter 
geodätischer Krümmung in die Parallelkreise der Rotations 
fläche übergehen (11, 18, 19). 
46) Ein doppelt orthogonales System von Kurven kon 
stanter geodätischer Krümmung ist stets isotherm (18). 
47) Sind in einem Isothermensystem die Kurven der 
einen Schar Kurven konstanter geodätischer Krümmung, so 
sind es auch diejenigen des andern (18). 
48) Der Radius der geodätischen Krümmung eines 
Parallelkreises auf einer Rotationsfläche ist gleich dem Stück 
der Meridiantangente zwischen dem Berührungspunkt und 
der Drehachse (17, 18). 
49) Man zeige, daß 
A"x = 
a 
ist. Aus dieser Formel folgt, daß auf den Minimalflächen 
die Schnittkurven mit einer Schar paralleler Ebenen einem 
Isothermensystem angehören (18). (Beweis einfach für iso 
metrische Parameter.) 
50) Man beweise, daß 
1 
6 2 (p 
d 2 cp 
/ 6 2 (p \ 2 
EG— F 2 
.du 2 
6v 2 
\du dv) . 
ein Differentialparameter ist. Bezeichnet man ihn mit A 22 cp, 
so ist zu beweisen, daß Ä 22 ir = (l — A'x)lt ist, wo Je das 
Krümmungsmaß bedeutet. Durch Integration dieser par 
tiellen Differentialgleichung erhält man x, y, z als Funk 
tionen von u und v, wenn das Linienelement der Fläche ge 
geben ist (18). 
51) Man zeige, daß für die Größen pt, v in § 7, (5) und (6) 
die Gleichung gilt 
A"lg y/uv = Jc. (18.)