122 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
B t = konst. entsprechen den Parallelkreisen, die Kurven 
v = konst. den Meridianen der Rotationsfläche. Damit ist 
der Satz von Weingarten bewiesen. Der Beweis für die 
Mäntel C 2 ist analog. 
§ 22. Das sphärische Bild der TF-FIächen. 
Das Linienelement des sphärischen Bildes einer TF-Fläche 
(1) dsl = E 0 dti 2 + 2 F 0 du dv + G 0 dv 2 
läßt sich auf eine bemerkenswerte Form bringen. Sind 
wieder die Parameterkurven die Krümmungslinien, so folgt 
nach § 4, (6) und § 21, (8), (5) 
. B iE D" 
(2) i;=0) 
Führt man mittels dieser Gleichungen in § 21, (10) 
E 0 , 6r 0 statt E, G ein, so folgt 
IL 
/o\ d log jEp _ 1 QBj. d log / 6r 0 __ 1 dB 2 
dv B 2 —B 1 dv ’ du B x —B 2 du 
Weiter erhält man aus der Gaußschen Gleichung 
§ 21, (8), für die Bildkugel (^1^2 = 1) gebildet, die 
Gleichung 
0) 
JL B _s_ !±_ 
Sw \iE„ öu Idv lj/e 0 dv I 
+ fE^~ 0 = 0, 
welche demnach ausdrückt, daß (1) das Linienelement der 
Kugel mit dem Radius = 1 ist. 
In (3) kann man nun wie in § 21, aus § 21, (1) B 2 als 
Funktion von B 1 und umgekehrt eintragen und integrieren, 
woraus folgt 
(5) E 0 = e 
f dR t 
2 r P («) Väsj — . 
(?„-/« F 0 = 0, 
wo (p{u), xp {v) willkürliche Funktionen von u bezw. v allein 
sind. Mit Hilfe von (5) erhält das Linienelement (1) der 
sphärischen Abbildung der TF-Fläche die Form 
d R t 
R-2 — Ri 
«/lii- 
du 2 -\-e Kl R2 dv 2 . 
(6)