§ 22. Das sphärische Bild der TF-Flächen. 123 
Dabei ist statt e v ^ du und e y) ^ v) dv wieder du und dv ge 
setzt, was durch passende Wahl der Parameter u, v stets 
möglich ist. 
Li (6) können noch die Integralzeichen entfernt werden. 
Da nämlich B x und B 2 der Relation § 21, (1) genügen, so 
können wir B l und B. 2 als Funktionen eines Hilfsparameters w 
auffassen, der seinerseits wieder eine Funktion von u, v sein 
wird. Wir setzen daher 
B x = cp{w), B x —B 2 = wcp'{w), 
oder 
B L =(p(w), B 2 = (p{w) — wcp'{w). 
(7) 
Setzt man diese Werte in § 21, (1) ein, so erhält man 
für die Funktion cp eine Differentialgleichung, wodurch die 
selbe also bestimmt ist. Aus (6) und (7) folgt nunmehr 
für das Linienelement des sphärischen Bildes einer 
TF-Fläche 
(8) 
Da endlich nach (2) ~]/E=B x YE^, ]/6r = R 2 ]/G^ ist und 
nach (8) .Fo = — 80 folgt für das Linien- 
w 2 cp {w) 2 
element der TF-Fläche selbst 
In den Gleichungen (7)—(9) ist w noch als Funktion 
von u, v zu bestimmen. Dies kann dadurch geschehen, daß man 
aus (8) En = A;, Gn = —7^-— entnimmt und in (4) einsetzt. 
v W 2 cp'{w) 2 
Durch Integration der entstehenden Differentialgleichung 
erhält man iv als Funktion von u und v. 
Aus den Gleichungen (7)—(9) folgen die Sätze: 
Satz 1. Wird eine TF-Fläche sphärisch abgebildet, 
so können die Parameter u, v der Krümmungslinien 
so gewählt werden, daß das Linienelement der Kugel 
die Form (8) annimmt, wo w eine Funktion von u, v 
ist. Die Hauptkrümmungsradien ergeben sich aus (7). 
Satz 2. Wenn umgekehrt das Linienelement der 
Kugel vom Radius = 1 auf irgend eine Weise auf