§ 24. Die Formeln von Monge und Weierstraß. 127 
(3) 
dudv ’ dudv ’ dudv 
d 2 x d 2 y n d 2 z 
r ^ = U, -W ^ == U ? TT 
Diese lassen sich aber sofort integrieren in der Form 
(4) x=U 1 + V 1 , y=U 2 + V 2 , *-Z7 3 + F„ 
wo U v U 2 , U 3 Funktionen nur von u, V x , V 2 , V 3 Funk 
tionen nur von v bedeuten. Wegen F — (4=0 müssen diese 
willkürlichen Funktionen den Gleichungen 
(5) uf + m 1 + Vf = 0, Fi 2 + Ff +rt = 0 
Die Formeln (4) und (5) sind die von Monge ge 
gebenen und bestimmen die allgemeinste Minimalfläche. 
Sie gestatten eine hübsche geometrische Deutung [eine 
andere geometrische Deutung ist in Aufgabe (6) enthalten], 
die uns sofort die Formeln von Weierstraß geben wird. 
Wir setzen nämlich 
fr — < ^U 1 , — 2 U 2 , £i — 2 ü ?> , 
i 2 = 2 V 2 , % = 2 7 2 , C 3 = 27 3J 
(6) 
(V 
und definieren durch (6) und (7) zwei Raumkurven T[ und 
F 2 , die wegen (5) und Bd. I, § 13, (16) Minimalkurven 
sind. Aus (4) folgt nun mit (6) und (7) für die Minimalfläche 
(8) # = i(£i + £2); V = i + £ 2 )> 
Die Minimalfläche (4) ist daher der Ort der 
Mitten aller Sehnen, welche einen beliebigen Punkt 
von F x miteinem beliebigen Punkt von F 2 verbinden. 
Die beiden Minimalkurven F x , und F 2 und zwar die 
allgemeinsten, haben nun aber nach Bd. I, § 13, (18) zu 
Gleichungen 
ëi= j( 1 — u 2 ) F(u) du, £ 2 =y(l — v 2 ) <P(v) dv, 
(9) f] ± = ij(l + u 2 ) F(u) du, y 2 = —ij(l +^ 2 ) &{v)dv,*) 
£1 = 2 juF(u) du, 
£ 2 = 2 jv <&(v) dv, 
wo F{u) und F(v) willkürliche Funktionen von u bezw. v sind. 
*) Es wurde hier statt -\-i — i gesetzt, was offenbar gestattet 
ist. Es ergibt sich so die Bedingung für reelle Minimalflächen 
besonders einfach.