128 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Aus (8) und (9) erhält man nmi die Formeln von 
Weierstraß für die allgemeinste Minimalfläche 
# = “ j(1 — u 2 ) F(u) du + ^f(l —v 2 ) 0{v) dv, 
(10) y ~ I“f(l + u 2 ) F(u) du—~j(l + v 2 ) 0{v)dv, 
8 = Ju F(u) d.u J r J v 0{v) dv. 
Aus der Form der Gleichungen (10) ergibt sich auch 
unmittelbar die Bedingung dafür, daß die Minimal 
fläche (10) reell sei. Da nämlich nach § 7 die Parameter 
u, v der Minimallinien der Fläche konjugiert imaginäre 
Größen sind, so müssen auch F{u) und 0 (v) konjugiert 
imaginäre Größen sein; denn nur so hebt sich in (10) alles 
Imaginäre heraus. Die Funktion 0 muß daher für eine 
reelle Fläche aus F durch Vertauschung von i mit —i 
hervorgehen, oder F und 0 müssen für eine reelle 
Fläche konjugierte Funktionen sein. 
In diesem Falle schreibt man die Gleichungen von 
Weierstraß oft in der Form 
# = /(1 — u 2 ) F(u) du, 
(11) p — -\-u 2 )F{u)du, 
z = / 2 u F(u) du. 
Diese Gleichungen sind so zu verstehen, daß nach der 
Integration für u eine komplexe Größe % + iv L zu setzen 
und für x, y, 8 immer nur der reelle Teil (3{) der resul 
tierenden Funktion zu nehmen ist. Die Koordinaten x, y,8 
der reellen Minimalfläche sind dann also als Funk 
tionen der beiden reellen Parameter %, v x dargestellt. 
In der Formel (11) entspricht jeder Funktion F(ü) der 
komplexen Variabein u eine Minimalfläche. Damit ist ein 
interessanter Zusammenhang zwischen den Funktionen einer 
komplexen Variabein und den Minimalflächen hergestellt 
(vgl. § 23, Schluß). 
Anmerkung 1. In den Formeln (11) können die Integral 
zeichen dadurch entfernt werden, daß man für die willkürliche 
Funktion F(u) den dritten Differentialquotienten einer anderen 
willkürlichen Funktion setzt, also 
F{u) — f" r (u).