§ 24. Die Formeln von Monge und Weierstraß. 129 
Aus (11) folgt dann durch Integration nach Teilen 
x = 9i {(1 — u 2 ) f"(u) + 2 u f'(u) — 2 f{u)}, 
(12) y = { i (1 + u 2 ) f"(u) — 2 iu f'(u) -f 2i f{u)} r 
z = ‘St {2u f"{u) — 2 
Nimmt man in (12) für f{u) eine algebraische Funktion, 
so ist die Minimalfläche selbst algebraisch. Umgekehrt hat 
Weierstraß gezeigt, daß jeder algebraischen Minimal 
fläche eine algebraische Funktion f{u) entspricht. 
Aus den Gleichungen (10) ergeben sich die Funda 
mentalgrößen erster und zweiter Ordnung und damit 
die wichtigsten Flächenkurven auf den Minimal 
flächen. 
Nach § 1, (8) erhält man so aus (10) für die Funda 
mentalgrößen erster Ordnung 
(13) F=0, F=$(l+uv)*F{u)0(v), G=0 
und somit für das Linienelement der Fläche 
(14) ds 2 = (1 + uv) 2 F{u) 0{v) du dv. 
Bildet man weiter die Gleichungen § 2, (11) mit Hilfe 
von (10), so erhält man durch Auflösen für die Rich 
tungskosinus a, b, c der Flächennormalen oder die 
Koordinaten des sphärischen Bildes der Fläche 
(15) 
u-j-v i (v — u) UV 1 
1 -f- UV ’ 1 + UV ’ 1-j-uv 
und für das Linienelement ds 0 des sphärischen Bildes 
(16) ds? = da* + db 2 + de 2 = -t dU (lV • 
v o'i (1 +uv) 2 
Weiter folgt nach § 2, (13) für die Fundamental 
größen zweiter Ordnung 
(17) D = — F{u), D' = 0, D" = —0{v). 
Nach § 3, (6) erhält man so als Diffe rentialglei- 
chung der Asymptotenlinien 
(18) F{u) du 2 -(- d>(v) dv 2 = 0 
und als Differentialgleichung der Krümmungslinien 
nach § 3, (10) 
(19) F(u) du 2 — 0(v) dv 2 = 0. 
Kommerell, Theorie der Raumkurven. II. 
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