130 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Endlich geben die Gleichungen § 3, (15), (14) für die 
mittlere Krümmung, wie es sein muß 
1 
B 2 
= 0, 
und für das Krümmungsmaß 
(20) 
7 . 1 _ 
4 
(1 + uvyF(ti) <P{v) 
Es ist also 
(21) 
Pi i = — Pi 2 
= (l + «v) T/ Fiu)m , 
Bemerkung 2. Ein Vergleich von (16) mit §.7, (16) lehrt, 
daß die Parameter u, v auch für die Bildkugel die Parameter 
der Minimallinien sind, d. h. den Minimallinien der Fläche ent 
sprechen die Minimallinien der Bildkugel, es ist daher das sphä 
rische Bild einer Minimalfläche dem Urbild konform 
(vgl. § 22, Satz 4). Übrigens folgt dies auch unmittelbar aus 
(14), (16) und (20), da sich so 
(22) dsl = — kds 2 
ergibt. Aus (18) und (19) folgt weiter der 
Satz. Auf jeder Minimalfläche erhält man die 
Asymptoten- und Krümmungslinien durch Quadra 
turen. 
§ 25. Spezielle Miirimalflächen. 
Wir behandeln die 
Aufgabe 1. Alle Minimalflächen zu bestimmen, 
die auf Rotationsflächen abwickelbar sind. 
Die Aufgabe ist also, die Funktion F(u) und die kon 
jugierte <P{v) so zu bestimmen, daß die Formeln § 24, (10) 
eine auf eine Rotationsfläche abwickelbare Fläche darstellen. 
Zu diesem Zwecke beachten wir, daß jede Rotationsfläche 
längs der Parallelkreise in sich verschiebbar ist und daher 
jede Fläche, die auf eine solche abwickelbar ist, längs der 
Kurven C, die den Parallelkreisen entsprechen, ebenfalls in 
sich verschoben werden kann. Es seien nun P{u,v) und 
P'{u',v') zwei Punkte einer solchen Kurve C, so muß nach 
§ 11 das Linienelement und das Krümmungsmaß in P gleich 
dem Linienelement bezw. Krümmungsmaß in P' sein; wir 
haben daher nach § 24, (14) und (20)