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x, dy, ds 
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enthalten, 
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§ 1. Fundamentalgrößen erster Ordnung. 5 
(9) Ä = ]/_E'6r — F 2 , 
und nehmen diesen Wurzelwert stets als positiv. Setzt man 
die Werte aus (8) in (9) ein, so folgt nach Einleitung (14) 
A 2 = JEGr — F 2 
(10) 
(dx\ 2 : (dy'Yj_/d#\ 2 dxdx dy dy dz dz 
\ du) ^xdu) "xdw/ du dv^ du dv^ du dv 
dxdx dy dy dz dz (dx\ 2 ,(dy\ 2 idz\ 2 
du dv du dv du dv \dv) \dv/ [dv/ 
dy dy 
2 
dz dz 
2 
dx dx 2 
du dv 
+ 
du dv 
1 
du dv 
dz dz 
dx dx 
+ 
dydy_ 
du dv 
du dv 
du dv 
Aus dieser Darstellung folgt, daß A als die Summe von 
drei Quadraten für reelle Punkte nie gleich Null werden 
kann, außer wenn die drei Determinanten einzeln ver 
schwinden; dann wären aber die drei Funktionen x, y, z 
nach Einleitung 11. nicht voneinander unabhängig, was 
oben ausgeschlossen wurde. Ä kann also nur in singulären 
Punkten (z. B. Spitze eines Kegels) verschwinden. 
Aus (7) ergibt sich das Bogenelement ds u der Para 
meterkurven v=konst., indem man dv = 0 setzt, und 
dasBogenelement ds v derParameterkurven u = konst., 
indem man du = 0 setzt. Man erhält so 
(fl) 
ds u =^Edu, ds v = ^[Grdv. 
Wir nehmen die Wurzeln ]/P und ]/G positiv und 
setzen damit fest, daß die Bogen der Parameterkurven 
gleichzeitig mit den Parametern selbst wachsen sollen. 
Es sollen nun weiter die Kosinus et, ß, y der Winkel be 
stimmt werden, die eine vom Punkt P ausgehende Richtung auf 
der Fläche, bezw. eine Tangente an die Fläche durch Pmit 
den Koordinatenachsen bildet. Nach Bd. I, § 15, (9) hat man 
(12) 
dx 
ds 
1 (dx 
dx 
-j-\-¿—du + ^r~dv 
ds\du dv 
dy = i ¡sy d sy dv 
ds ds\du dv 
dz 
^ ds 
,~du~G~dv 
ds\du dv