§ 25. Spezielle Minimalflächen. 131 
(1) (1 + uv) 2 F{u) 0{v) du dv = (1 + u' v') 2 F(u') 0(y') du' dv', 
(2) (1 + uv) A F(u) 0{y) — (1 + u' v'Y F(u') 0{v r ) 
und durch Division von (1) und (2) 
4 dudv Adu'dv' 
(ipuv) 2 [\pu'v') 2 
Hieraus folgt nach § 24, (16), daß das sphärische Bild 
von P mit dem von P' symmetrisch oder kongruent ist. 
Symmetrie ist aber ausgeschlossen, da sonst das sphärische 
Bild von P durch stetige Bewegung nicht in das von P' 
übergeführt werden könnte. Die beiden Kugelbilder sind 
demnach kongruent und können daher durch Drehung um 
eine bestimmte Achse zur Deckung gebracht werden. Wir 
orientieren nun die Minimalfläche zur Bildkugel so, daß jene 
Drehachse die Z-Achse wird. Die Normale in P muß also 
gegen die if-Achse dieselbe Neigung haben wie die in P'. 
Es ist also c = c' und daher nach § 24, (15) 
(4) uv — u'v'. 
Aus (2) und (4) folgt, daß die Funktion F{u)-0(v) 
ihren Wert nicht ändern darf, wenn u • v konstant bleibt, 
d. h. F(u)‘0{v) ist reine Punktion von u>v\ bezeichnen 
wir diese mit cp, so erhalten wir die Funktionalgleichung 
(5) F (u) • F (v) = cp{u • v). 
Nimmt man hier beiderseits den Logarithmus und diffe 
renziert partiell zuerst nach u und dann nach v, so folgt 
uF'{u) v<P'{v) 
(b) F(u) = 0{v) 
Da in (6) die linke Seite nur von u, die rechte nur 
von v abhängt, so sind die beiden Seiten gleich einer Kon 
stanten m. Es ist also uF'(u) : F(u) =v F' (v) : F (v) — m, 
oder integriert 
(7) F(u) = Au m , 0{v) = Bv m , 
wobei A und P Integrationskonstanten sind. Für eine reelle 
Fläche muß v zu u konjugiert imaginär sein und ebenso 0 
die zu P konjugierte Funktion, (vgl. § 24); m ist daher eine 
reelle, P die zu A konjugierte Konstante. 
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