§ 27. Allgemeines üb. Flächen v. konst. Krümmungsmaß. 139 
(5) iG=ü(e R — e R ^ = sin^- 
\ 2 i ) 
Wir erhalten nun aus (2) und (5) 
1) Für die Flächen von konstantem positivem 
Krümmnngsmaß {Rreell = r) 
qt i 
(6) ds 2 = du 2 -\- r 2 sin 2 —dv 2 ; h——* 
2) Für die Flächen von konstantem Krümmungs 
maß Null (abwickelbare Flächen, R = °°)> 
(7) ds 2 = du 2 -\-u 2 dv 2 ] Jc = 0. 
3) Für die Flächen von konstantem negativem 
Kümmungsmaß {11 rein imaginär = ri) 
( U —U \ 
e‘ —e 1 jdv 2 ; 1c = • 
Da also das Linienelement jeder Fläche von konstantem 
Krümmungsmaß sich auf eine der Formen (6)—(8) bringen 
läßt, so folgt der 
Satz 1. Alle Flächen, die dasselbe konstante 
Krümmungsmaß besitzen, lassen sich aufeinander 
und auf sich selbst abwickeln und zwar auf drei 
fach unendlich viele Weisen. 
Das letztere bedarf noch eines Beweises. Seien F und 
F x zwei Flächen der genannten Art, so kann auf F als 
Pol des geodätischen Polarkoordinatensystems ein beliebiger 
Punkt A, auf F t ein beliebiger Punkt Ä 1 gewählt werden. 
Wegen der Gleichheit der Linienelemente kann nun F auf 
F x abgewickelt werden, so daß A und A x sich decken. 
Der Punkt A von F kann also mit zweifach unendlich vielen 
Punkten von F x zur Deckung kommen. Da weiter in (2) 
statt v auch v + a, wo a eine beliebige Konstante ist, gesetzt 
werden kann, ohne daß die Form des Linienelementes sich 
ändert, so kann man auch die eine Fläche über der anderen 
um den gemeinsamen Punkt AA X drehen. Damit ist ge 
zeigt, daß die Abwicklung in der Tat auf dreifach unendlich 
viele Arten möglich ist. 
Nach dem Satz, den wir soeben bewiesen, kann daher 
jede Figur auf einer solchen Fläche in der Fläche verschoben