6 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Aus (12) und (7) folgt, daß a, ß, y nur von dem Ver 
hältnis du: dv der Differentiale du und dv abhängen. Das 
Verhältnis du:dv bestimmt also eine Fortschreitungs- 
richtung auf der Fläche. 
Ist z. B. die Gleichung 0 (u, v) = 0 einer Kurve auf 
der Fläche gegeben, so sind die Differentiale du und dv 
verbunden durch die Gleichung 
60 60 
(13) ——du-\-- 7 —-dv = 0. 
OU ÖV 
Aus (13) ist nun das Verhältnis du:dv und damit die 
Richtung der Kurve in jedem ihrer Punkte bestimmt. 
Sind zwei von demselben Punkte {u, v) ausgehende 
Richtungen du x :dv x und du 2 :dv 2 gegeben, so erhält man 
die Richtungskosinus a x , ß x , y x und a 2 , ß 2 , y 2 derselben, 
indem man in (12) du und dv durch du x und dv x , bezw. 
du 2 und dv 2 ersetzt, während die partiellen Ableitungen 
S oo 
u. s. w. ungeändert bleiben. 
Hieraus ergibt sich leicht der Winkel ([ds x ds 2 ) zwischen 
den beiden Richtungen. Es ist nämlich nach Bd. I, § 15, 
(13) und (16) 
cos {ds x ds 2 ) = a x a 2 + ß x ß 2 + y x y 2 
sin 2 ^«! ds 2 ) = 
ßl ß-2 
7i 72 
+ 
71 7 2 
a x a 2 
+ 
«1 «2 
ßl ß'2 
Man erhält hiernach unter Berücksichtigung von (12) 
Edu x du 2 -\-F{du x dv 2 +dv x du 2 )-\- Grdv x dv 2 
(14) cos {ds x ds 2 ) = : 
ds x ds 2 
sin {ds x ds 2 ) = A 
du x dv 2 — dv x du 2 
d s x ds 2 
(15) bedarf noch eines Beweises. Nach (12) ist 
( 6x 
a x a 2 
ßl ß-2 
ds x d S 2 
(6x , 6x , 
du x + -Tr— dv x 
\öu öv 
ip- du x + dv x 
du öv 
du., 
du 
6x 
Tv dv2 
du 2 + dv, 
6u dv 
wo 
du 
na< 
(li 
zei 
(l 1 * 
tu 
ku 
K 
dv 
(« 
Pu 
(IS 
(15)