148 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
§ 30. Sätze über Parallelen. Nichteuklidische 
Geometrie. 
Wir untersuchen noch das Verhalten geodätischer Linien 
im Unendlichen oder die Frage der Parallelen. Zu diesem 
Zwecke denken wir uns auf einer Fläche von konstantem 
Krümmungsmaß einen Punkt C (s. Fig. 32) und eine geo 
dätische Linie F und suchen die geodätischen Linien durch 
C, die die F erst im Unendlichen schneiden (Parallelen zu F), 
Mit Hilfe von § 29, (10) überzeugt man sich leicht, 
daß es auf F einen Punkt A gibt derart, daß die geodätische 
c 
Fig. 32. 
Linie CA die F rechtwinklig schneidet. Ist B ein beliebiger 
anderer Punkt von F, so gilt für das bei A rechtwinklige 
geodätische Dreieck ABC die Gleichung 
c . h 
(1) ts B = tgy6m R’ 
die man ohne Mühe aus § 29, (10) ableitet (vgl. auch die 
Formeln für die sphärische Trigonometrie). 
Für die Pseudosphäre ist nun B = ri und nach (1) 
und § 29, (11) daher 
c c b b 
e —e r e —e r 
-r 34 = 2 tgr ’ 
e +e 
Läßt man nun den Punkt B auf F immer weiter von 
A sich entfernen, so erhält man schließlich für c — + oo aus 
der letzten Gleichung leicht 
( 2 ) ctg|=+U. 
Man erhält aus dieser Gleichung für y zwei Werte y 1 
und 2 je — y\{— — 7i)- Diejenigen beiden von C ausgehenden