§ 30. Sätze über Parallelen. Nichteuklidische Geometrie. 149 
geodätischen Linien, die mit CA den Winkel y x bezw. — y x 
bilden, schneiden daher die F erst im Unendlichen. Nennt 
man den Winkel y 1 den Parallelitätswinkel, so folgt der 
Satz 1. Durch einen Punkt C einer pseudo 
sphärischen Fläche gibt es zwei verschiedene 
geodätische Linien, die mit einer gegebenen geo 
dätischen Linie F parallel sind. Der Parallelitäts 
winkel y x hängt nach (2) von dem senkrechten geo 
dätischen Abstand & des Punktes C von F ab. 
Aus (2) folgt, daß y x sich um so mehr ~ nähert, je 
U 
kleiner & ist, d. h. rückt C gegen A, so treten die beiden 
Parallelen mehr und mehr in eine zusammen. 
Analog beweist man den 
Satz 2. Auf den abwickelbaren Flächen (Ebene) 
gibt es zu einer gegebenen geodätischen Linie durch 
einen gegebenen Punkt nur eine, auf den Flächen 
von konstantem positivem Krümmungsmaß (Kugel) 
keine Parallele. 
Die Geometrie auf den Flächen von konstantem Krüm 
mungsmaß ist noch von besonderem Interesse geworden, seit 
Beltrami einen innigen Zusammenhang dieser Geometrie 
mit der sog. nicht-euklidischen Geometrie aufgedeckt 
hat. Die folgenden Zeilen mögen dies zum Schluß näher 
darlegen. 
Schon länger hat man erkannt, daß die Geometrie, wie 
sie Euklid darstellt, nicht notwendig diejenige ist, die im 
Raume Gültigkeit hat. Läßt man nämlich das Postulat XII 
im ersten Buche von Euklid bezüglich der Parallelen fallen 
und faßt die Gerade als die kürzeste Verbindungslinie zwischen 
zwei Punkten auf, so gibt es, wie Gauß, Bolyai und 
Lobatschewsky gezeigt haben, drei verschiedene Systeme 
von Geometrien. In dem einen von diesen ist die Winkel 
summe eines Dreiecks gleich zwei Rechten ■— dies ist die 
von Euklid durchgeführte Geometrie. In der zweiten Art 
von Geometrie ist die Winkelsumme größer, bei der dritten 
kleiner als zwei Rechte, Die trigonometrischen Formeln, 
die man bei diesen drei Systemen erhält, sind genau die 
Formeln § 29, (10). Damit ist klar, daß diese drei Arten 
von Geometrien vollkommen mit den Geometrien auf den 
Flächen von konstantem Krümmungsmaß übereinstimmen.