152 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
P + wP + n 2 = 1, 
() x[ 2 + y? + z? = 1. 
Aus (1) erhält man nunmehr für das Linienelement 
der Regelfläche nach § 1, (7) und (8) 
(4) ds 2 — du 2 + 2 cos d du dv + (Au 2 + 2Bu + 1) dv 2 . 
Führt man hier für u durch die Gleichung 
u = u x — /cos $ dv 
den neuen Parameter u x ein, so verschwindet der Koeffizient 
von du x dv, d. h. die Kurven u x = konst. sind die Orthogonal- 
trajektorien der Erzeugenden v = konst. Man hat daher den 
Satz. Die Orthogonaltrajektorien der Erzeu 
genden jeder Regelfläche ergeben sich durch eine 
Quadratur. 
Nimmt man eine dieser Orthogonaltrajektorien zur 
Direktrix, so ist für diesen Fall $ = —. 
Lj 
Zieht man durch einen beliebigen Raumpunkt die 
Parallelen zu den Flächenerzeugenden, so erhält man einen 
Kegel, den sogenannten Leit- oder Richt-Kegel. Aus 
einer um jenen Punkt als Mittelpunkt mit dem Radius = 1 
geschlagenen Kugel wird von dem Leitkegel die „sphärische 
Indikatrix“ ausgeschnitten. Wird als die Spitze des Leit 
kegels der Ursprung genommen, so sind l, m, n die Koor 
dinaten der sphärischen Indikatrix. 
Von Wichtigkeit sind noch folgende Größen: der 
Winkel dcp, den zwei konsekutive Erzeugende v und 
v^-dv miteinander bilden, ihr Minimalabstand do 
und der Wert von u im Fußpunkt von do auf der 
Erzeugenden v. 
Für dcp erhält man nach Bd. I, Einleitung (9) 
(5) dcp 2 = dP-\-dm 2J r dn 2 ’, 
dcp ist auch das Bogenelement der sphärischen Indikatrix. 
Um die Werte für die beiden andern Größen zu finden, 
lassen wir in (4) v und dv konstant und bestimmen u und 
du so, daß ds ein Minimum wird. Man erhält so nach den 
bekannten Regeln du = — cos -&dv, u= j •