154 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Satz 1. Es gibt unendlich viele Regelflächen, 
die dasselbe Linienelement haben, oder jede Regel 
fläche ist stetig deformierbar, wobei sie stets Regel 
fläche bleibt. 
Um nun alle diese zu demselben Linienelement ds ge 
hörigen Regelflächen explizit zu erhalten, bestimmen wir 
zunächst drei Funktionen l, m, n von v, die den Gleichungen 
P -f- m 2 + n 2 = 1, 
V 2 + m' 2 -j- n' 2 = A 
(1) 
genügen. Der ersten dieser Gleichungen wird genügt, 
wenn man 
(2) 1 = smcpcosxp, m = smcpsmy>, n = cos cp 
setzt, wobei cp und xp zunächst noch willkürliche Funk 
tionen von v sind. Aus der zweiten Gleichung (1) folgt 
nun cp' 2 + xp' 2 sin 2 cp — A oder 
(3) 
Die Funktion cp von v bleibt willkürlich; aus (3) er 
gibt sich xp und aus (2) l, m, n. Man sieht, daß der Richt 
kegel der Regelfläche willkürlich angenommen werden kann. 
Ist dieser angenommen, so erhält man die Direktrix und 
damit die Fläche selbst auf folgende Weise. Die Koordinaten 
x x , y x , z x sind aus den Gleichungen 
Ixi + my[ + nz[ = cos ft, 
l'x[ + m'yi + n'z[ = B, 
x' 2 -j- y' 2 + #i=l 
(4) 
zu bestimmen. Zur Auflösung dieses Systems berechnen 
wir nach Darboux zuerst die Hilfsgröße 
l V x[ 
H== m m' y[ 
n n' z{ 
(5) 
Durch Quadrieren dieser Gleichung folgt wegen (1) und 
(4) für H