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§ 82. Deformation der Regelflächen. 
und zwar ist H wegen § 31, (7) für eine nicht abwickelbare 
Fläche von Null verschieden. Man erhält nun x[, y[, z[ 
aus drei linearen Gleichungen, nämlich den zwei ersten von 
(4) und aus (5). 
Es folgt so 
JB H 
x[ — l cos $ + V + -j {mn' — nm'), 
JB H 
(7) 2/i = m cos $-f- — Zw'), 
7? TT 
z[ — n cos $ + -n' + -j (Im' — mV) 
TL TL 
und hieraus durch Quadraturen x v y 1} z v Da nunmehr die 
sechs Funktionen l, m, n, x x , y t , z x von v bestimmt sind, so 
geben die Gleichungen § 31, (1) die Flächengleichungen. 
H ist nach (6) mit doppelten Vorzeichen behaftet, man er 
hält daher bei gegebenem Leitkegel zwei verschiedene 
Flächen. Wir haben so den 
Satz 2. Jede Regelfläche kann so verbogen 
werden, daß ihr Leitkegel eine willkürliche Gestalt 
erhält, und zwar auf zwei verschiedene Arten. 
Wir behandeln noch die Frage: 
Läßt sich eine Regelfläche so deformieren, daß 
eine Kurve auf ihr eine Gerade wird? 
Nimmt man an, die Direktrix sei die Kurve und es 
sei möglich, die Fläche so zu verbiegen, daß die Direktrix 
zur Z-Achse wird, so hat man, da ja v den Bogen der 
Direktrix bedeutet, für die verbogene Direktrix die Glei 
chungen 
(8) x x = 0, 2/i = 0, z x =v. 
Da ferner {)■ der Winkel ist, den die Erzeugende im 
Punkte v mit der Direktrix macht, so setzen wir 
(9) l = sin $ cos ip, m = sin # sin xp, n = cos $. 
Die Gleichungen (8), (9) und § 31, (1) definieren eine 
Regelfläche mit der z^-Achse als Direktrix. Damit diese 
Fläche auf die gegebene abwickelbar sei, bestimmen wir in (9) 
xp als Funktion von v so, daß die beiden Regelflächen das 
selbe Linienelement haben. Die sechs Funktionen in (8) 
und (9) müssen daher den Gleichungen § 31, (2) und (3) ge