156 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
nügen. Die letzte Gleichung (2) und die Gleichungen (3) 
in § 31 sind von selbst erfüllt. Aus der zweiten Glei 
chung § 31, (2) folgt 
Die beiden gegebenen Funktionen JB und x) müssen 
daher, falls die Verbiegung möglich sein soll, der Glei 
chung (10) genügen. Aus der ersten Gleichung § 31, (2) 
endlich folgt 
(11) 
wodurch xp als Funktion von v bestimmt ist. Die Glei 
chungen der verbogenen Fläche lauten nunmehr 
(12) x = u sin $ cos xp, y — u sin $ sin xp, z = v + u cos $, 
wo xp als Funktion von v aus (11) zu entnehmen ist. 
Ist daher die Bedingung (10) erfüllt, so ist die 
Verbiegung stets möglich. Die geometrische Bedeutung 
dieser Bedingung ergibt sich leicht wie folgt. Man differen 
ziere die dritte Gleichung § 31, (2) und beachte (10), so folgt 
Ix" + my" + nz" = 0, 
(13) 
wo jetzt x 1} y ± , z x die Koordinaten der nicht verbogenen 
Direktrix sein mögen. Da nun nach Bd. I, § 4, (5) x", y", z" 
mit den Eichtungskosinus der Hauptnormalen der Direktrix 
proportional sind, so drückt (13) aus, daß diese Haupt 
normale senkrecht auf der Erzeugenden und damit senk 
recht auf der Fläche steht. Die nicht verbogene Direk 
trix muß also nach Bd. I, § 25, S. 113 geodätische 
Linie der Fläche sein, was auch geometrisch vorauszu 
sehen war. 
5. Dreifach, orthogonale Flächensysteme. 
§ 33. Definition der dreifach orthogonalen 
Flächensysteme. 
Für viele Untersuchungen in der Mathematik ist es 
nützlich, die Lage eines Baumpunktes statt durch die ge 
wöhnlichen Cartesischen Koordinaten dadurch zu bestimmen,