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§ 34. Die Fundamentalgrößen eines dreifach etc. 159 
Das Linienelement zwischen den zwei Punkten 
(u, v, w) und {u-\-du, v -f- dv, w + div) ergibt sich nun durch 
*2= V ( d * du + ^ dv+ B *dJ 
¿mmJ \ÖU CV CW } 
oder wegen (1) und § 33, (3) in der Form 
(2) ds — H\ du + H\ dv 2 + H\ d w 2 . 
Aus (2) erhält man nun für die Fundamentalgrößen 
E u , F n , G u der Fläche ^=konst. bezüglich Hl, 0, H\ und 
X 
fI=h 2 h s . 
Wir haben daher 
O 
II 
II 
NT 
G U = H\, 
A« — Eis ’ 
(3) 
E v =Hl F v = 0, 
o, = h\, 
X=H 5 H„ 
E w = H\, F № = 0, 
G„ = ll\, 
A « = -£№ 
Zur Ableitung der Fundamentalgrößen zweiter Ordnung 
stellen wir zuvor gewisse Relationen auf. Differenziert man 
§ 33, (3) der Reihe nach partiell nach w, u, v, so folgt 
d 2 x ] y^idx d 2 x n 
du dvdw dv du dw ’ 
dx d 2 x y-rda? d 2 x 
V 
dv dw du^ div dv du 
dx d 2 x 
+ 
V 
dx d 2 x 
j dw du dv j du dw dv 
0. 
Zieht man von der halben Summe dieser Gleichungen 
jede einzelne ab, so ergibt sich 
(4) 
dx d 2 x 
du dvdw 
0, 
NF 
dx d 2 x 
¿—i dv dw du 
0, 
•s^idx d 2 x 
Xj dw du dv 
0. 
Differenziert man weiter die zweite und dritte Gleichung 
von (1) nach u, so folgt mit Beachtung von § 33, (3) 
(5) 
V 
NF 
dx d 2 x 
*sridx d 2 x 
TT 
dv du dv 
mj du dv 2 
JJ 2 
dx d 2 x 
'S^idx d 2 x 
TT 
dw du dw 
Xj dudw 2 
^3 
du 
dH 
du