160 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Für die Richtungskosinus a n , h u , c u der Flächen 
normalen der Fläche u = konst. hat man a u :h u : c tl 
— tß: -ß: ^ß und analog für die Flächen v — konst., w = konst. 
du du du 
Aus (1) folgt nun 
1 dx , 1 dy 1 dz 
H x du’ hu H x du’ Cu H x du 
1 dx 1 dy 1 dz 
= H 2 Hv’ bv ^H2^’ Cv = lT 2 ~dv 
(6) 
1 dx 1 dy 1 dz 
= bl0== H^d^’ Gw = W z ~d^ 
Beachtet man nun, daß für die Fläche u = konst. v und 
w die Parameter sind, so erhält man nach § 2, (13) und 
(4)—(5) für die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung 
d 2 x 1 d 2 x H. 2 dH 2 
Ho .. -i C\ _. .. 
Durch zyklische Vertauschung erhält man hieraus 
h 2 
dH., 
BL- 
-0, 
BZ 
H 3 
dH 3 
H x 
du ’ 
H, 
du ’ 
h 3 
dH 3 
])' - 
-0, 
B' v ' 
H x 
dH x 
h 2 
dv ’ 
H 8 
dv ’ 
II 
1 
№ 
dH x 
dw ’ 
D' = 
= 0, 
7)" — 
-Ls 10 
H, 
Hs 
dHj 
dw 
Da nun für die Fläche u = konst. F u = 0, l)' v = 0 ist, 
so folgt aus § 3, Satz 3, daß die Parameter v, w für diese 
Fläche die Parameter der Krümmungslinien sind. Analoges 
gilt für die andern Flächen. Dies ist der schon in Bd. I, 
§ 24 bewiesene 
Satz von Dupin. Die Flächen eines dreifach 
orthogonalen Flächensystems schneiden sich nach 
Krümm ungslinien.