8 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Sollen sich die Parameterkurven überall rechtwinklig 
schneiden, so muß F identisch, d. h. für alle Werte von u 
und v verschwinden. Es folgt also 
Satz 1. Die Parameterkurven ti = konst. und 
t> = konst, einer Fläche stehen überall aufeinander 
senkrecht, wenn das Linienelement der Fläche die 
Form hat 
ds 2 = F du 2 + Cr dv 2 . 
Schließlich ergibt sich für das OberflächenelementdJ 
im Punkt {u, v) nach Bd. I, § 15, (18) der Wert 
(20) dJ = sin co ds n ds v = A du dv. 
Man überzeugt sich leicht, daß dJ bis auf unendlich 
kleine Größen höherer Ordnung auch gleich dem Inhalt des 
von zwei Paaren konsekutiver Parameterkurven eingeschlos 
senen unendlich Meinen Flächenstücks ist. 
In den folgenden Paragraphen treten noch gewisse Aus 
drücke auf, die sich aus den Ableitungen von E, F, G nach 
u und v zusammensetzen; dieselben lauten in den Bezeich 
nungen von Gauß mit Benutzung der bereits eingeführten 
Abkürzungen 
(21) mf 
m"= 
dx d 2 x 1 dE 
du du 2 2 du’ 
dx d 2 x 1 dE 
dududv 2 dv’ 
dx d 2 x 1 d G 
dudv 2 2 du 
dF 
dv ’ 
dx d 2 x 
dv du 2 
dx d 2 x 
dvdudv 
dx d 2 x 
dv dv 2 
_ 1 dE 
2 dv 
IdG 
2 du’ 
IdG 
2 dv ' 
+ 
dF 
du’ 
Wir definieren endlich sechs weitere Größen p, p' p"; 
q, q', q" durch die Gleichungen 
A 2 p = m G — nF, A 2 q =nE — mF, 
(22) A 2 p' G — n'F, A 2 g' =n'E—m'F, 
A V' = m "G- — n"F, \ 2 q" - n"E — m"F, 
woraus sich leicht 
(23) 
ergibt. 
p + q'-- 
6 log A 
ST,r- 
q" Fp'-- 
d log A 
dv 
§ 
Bd, 
(1) 
sch 
Bd. 
(2) 
übe 
Flä 
ihn« 
(3) 
die 
(4) 
Pro 
(5) 
folg 
nacl 
(6) 
zügl