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§ 35. Die Inversion durch reziproke Eadien-Yektoren, 163 
§ 35. Die Inversion durch reziproke Radien-Vektoren. 
Konforme Abbildung des Raumes auf sich selbst. 
In § 9, S. 52 hat sich ergeben, daß durch die Inversion die 
Ebene auf sich selbst konform abgebildet wird. Übertragen 
wir die Beziehung, die sich zwischen zwei Punkten in der 
Ebene ergeben hat, auf den Raum, so erhalten wir die In 
version für den Raum. Wir werden dabei finden, daß 
dadurch der Raum ebenfalls konform auf sich selbst ab 
gebildet wird und daß daher aus einem dreifach orthogonalen 
Flächensystem durch Inversion wieder ein solches hervorgeht. 
Wir ordnen also jedem Raumpunkt P, der vom Ur 
sprung 0 die Entfernung r hat, einen andern Punkt P' auf 
OP dadurch zu, daß sein Abstand r' vom Ursprung mit 
dem Abstand r durch die Gleichung 
r 2 
(Ü r,== — 
r 
verbunden ist, wo c eine konstante Größe bedeutet. 0 heißt 
auch hier das Zentrum der Inversion. Alle Punkte der 
Kugel mit dem Radius gleich c um 0 als Zentrum fallen 
mit ihren entsprechenden zusammen und alle Punkte inner 
halb dieser Kugel haben ihre Bilder außerhalb derselben 
und umgekehrt. Das Zentrum der Inversion ist ein sin 
gulärer Punkt: ihm entsprechen alle unendlich fernen Punkte. 
Sind nun x, y, z die Koordinaten von P und u, v, w 
die Koordinaten seines entsprechenden P', der Ursprung das 
Zentrum der Inversion, so findet man ohne Mühe 
(2) x 
c 2 u 
■ V 2 -j- w 2 
y 
C Ä V 
oder nach u, v, w aufgelöst 
(2 a) u 
c*x 
u 2 -|- v 2 -f- w 2 
c 2 y 
, 0 = 
C 2 W 
U 2 + V 2 + w 2 ’ 
w = 
c l z 
X 2 Py 2 -\-Z 2 ’ X 2 + y 2 + z 2 ' x 2 -\-y 2 -\-z 2 
Durch (2) ist jedem Koordinatentripel {x, y, z) ein solches 
in {u, v, w) zugeordnet. Einer Ebene 
Ax + Py + Gz + D = 0 
entspricht die Kugel 
c 2 (Au + Bv + Cw) + D (u 2 + v 2 + w 2 ) = 0. 
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