166 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Die Funktionen H x , H 2 , B 3 sind nunmehr ermittelt. 
Es ist nämlich 
H x =H 2 ^H 3 ^c 2 q~S 
wo abkürzend q = u 2 + v 2 + w 2 gesetzt ist. Jetzt sind die 
Gleichungen § 34, (11) zu integrieren; man erhält 
a u = 1 — 2q-~ 1 u 2 , a v =—2q~ x uv, a l0 = — 2q~ x uw 
und endlich aus § 34, (12) 
c 2 u c 2 v c 2 w 
(10) X W 2 ’ y u 2 v 2 _|_ w 2 ’ 3 u 2 _[_ v 2 _|_ w 2 ’ 
wobei die zwei letzten Gleichungen ähnlich erhalten werden 
wie die erste. Die Gleichungen (10) stimmen aber mit (2) 
überein und definieren eine Inversion. 
Es bleibt noch der Fall zu erledigen, wo c 2 in (8) = oo 
ist. Man zeigt leicht, daß dann U, V, W und somit X Konstante 
sind. H X ,H 2 ,H 3 sind ebenfalls konstant = m und auch für 
die Richtungskosinus a U: a v , a w ; b u , h 0 , b w ; c u , c v , c w erhält 
erhält man aus § 34, (11) konstante Werte. Da aber diese 
drei aufeinander senkrechte Gerade bestimmen, so sieht man, 
daß sie die Koeffizienten einer orthogonalen Substitution 
ßi, yi) sein müssen. Aus § 34, (12) folgt so 
x — x 0 = (a x u + ß x v + y x w) m, 
y — y0 = («2 U + ß2 V + 72 W ) m > 
0—z 0 = (a 3 u + ß 3 v + y s w) m. 
Verschiebt man noch das XFZ-Koordinatensystem so, 
daß sein Ursprung in den Punkt x 0 , y^, z 0 gelangt, und dreht 
man das u, v, w Koordinatensystem, indem man setzt 
a x u + ß x v + y t w == u\ a 2 u + ß%v + y 2 w = v\ 
a s u + ß 3 v + y s w = v/, 
so folgt 
x — mu\ y = mv', z = muf. 
Durch diese Gleichungen ist aber der Raum auf sich selbst 
ähnlich bezogen. Damit ist der Beweis des Satzes 1 
erledigt. 
Die Inversion erlaubt nun, aus dreifach orthogonalen 
Flächensystemen andere derartige herzuleiten, da bei der 
Inversion die Winkel erhalten bleiben, also speziell rechte