§ 36. Die Cycliden (Dupin). 
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Winkel auch nach der Inversion rechte Winkel bleiben. 
Unterwirft man daher ein dreifach orthogonales System 
einer Inversion, so erhält man wieder ein dreifach ortho 
gonales System. So bilden beispielsweise, wie man sich 
leicht überzeugt, die abwickelbaren Flächen der Normalen 
einer Fläche F längs ihrer Krümmungslinien mit den 
Parallelflächen zu F ein dreifach orthogonales Flächensystem. 
Durch Inversion erhält man hieraus ein neues dreifach ortho 
gonales System. F transformiert sich in F' und die trans 
formierten der abwickelbaren Flächen schneiden daher aus 
F' nach dem Satz von Dupin § 34 die Krümmungslinien 
aus. Die Krümmungslinien von F gehen daher in die 
Krümmungslinien von F' über. 
Satz 2. Kennt man auf einer Fläche F die 
Krümmungslinien, so erhält man durch eine In 
version eine neue Fläche F', auf der man ebenfalls 
die Krümmungslinien kennt. 
§ 36. Die Cycliden (Dupin). 
Wir wenden das am Schluß von § 35 Gesagte auf 
das dreifach orthogonale System von Kegeln, Kugeln 
und Ebenen in § 33, (2) an. Durch Inversion an einem 
beliebigen Inversionszentrum erhält man aus dem System 
der Kugeln und Ebenen zwei Kugelsysteme (§ 35). Um 
das Bild des Kegelsystems zu erhalten, legen wir an einen 
der Kegel drei Tangentialebenen und betrachten den Kegel 
als die Enveloppe aller Kugeln, die jene drei Ebenen be 
rühren. Durch Inversion verwandeln sich diese drei Be 
rührungsebenen in drei Kugeln, und die Kugeln, deren En 
veloppe der Kegel ist, geben Kugeln, die stets jene drei Kugeln 
berühren: die Enveloppe dieser Kugeln ist das Bild des 
Kegels. Die Fläche nun, die von einem System von Kugeln, 
die stets drei feste Kugeln berühren, eingehüllt wird, heißt 
nach Dupin eine Cyclide. Wir haben daher den 
Satz 1. Das transformierte dreifach orthogonale 
System von Kugeln, Ebenen und Kegeln besteht 
aus zwei Kugelsystemen und einem System von 
Cycliden. 
Die Kugelsysteme schneiden aus den Cycliden nach 
dem Satz von Dupin die Krümmungslinien aus; diese be-