168 H- Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
stehen aber aus lauter Kreisen, da sie die Bilder der 
Krümmungslinien der Kegel, also die Bilder von Geraden 
und Kreisen sind. 
Zur analytischen Darstellung des transformierten 
Systems nehmen wir eine spezielle Lage des Systems der 
Kugeln, Ebenen und Kegel gegen das Inversionszentrum 
an. Das Inversionszentrum möge der Ursprung des Koordi 
natensystems sein, während die gemeinsame Spitze der 
Kegel im Punkt Ä der X-Achse im Abstand a vom Ur 
sprung liegen und die gemeinsame Achse der Kegel mit der 
X-Achse parallel sein möge. Nach § 33, (2) haben wir dann 
für das dreifach orthogonale System der Kugeln, Ebenen 
und Kegel 
(1) x = a-\-wc.osuc,osv, y = w cosm sinv, z = wshm. 
Wird durch die Inversion der ßaumpunkt (x,y, z) in den 
Punkt (x v y t , z t ) übergeführt, so hat man nach § 35, (2), 
wenn c = 1 gesetzt wird, 
X y __ z 
Xl X 2 + y 2 + z 2 ’ X 2 + y 2 + Z 2 ’ 01 x 2 y 2 -\-z 2 ' 
Als Gleichungen des dreifach orthogonalen trans 
formierten Systems erhält man so 
x t = {a -\- w c,osu cosv) : {a 2 -\-2aw cosuqosv-\-w 2 ), 
(2) y x = wcosu sinv : (a 2 + 2awcosu cosv-j- w 2 ), 
z x = wm\u : {a 2 -\- 2awcos^cos-y +w 2 ). 
Die Cycliden sind hier die Flächen u = konst. 
Um einen Überblick über die Gestalt einer einzel 
nen Cyclide (s. Fig. 34) zu erhalten, suchen wir die Bilder 
der Mantellinien des Kegels, aus dem die Cyclide durch 
Inversion hervorgegangen: Die Bilder der Mantellinien sind 
Kreise, welche alle durch den Ursprung und den Punkt 
x = — der X-Achse hindurchgehen; denn der Ursprung ist 
das Bild aller unendlich fernen Punkte der Mantellinien, 
der Punkt x —— das Bild der Kegelspitze. Diese beiden 
Qj 
Punkte sind daher für die Cyclide Knotenpunkte, d. h. die 
sämtlichen Tangenten an die Cyclide in einem dieser Punkte