§ 38. Anwendung auf Normalensysteme. 177 
Wir führen die Untersuchung nach Bianchi. Wenn 
das Strahlensystem 
(1) £ = X-\-tX, = y -\-tl , £ = 8-\-tZ 
die Normalen einer Fläche bildet, so muß sich t als Funktion 
von u, v so bestimmen lassen, daß die Gleichungen (1) nun 
mehr eine Fläche darstellen, welche die Systemstrahlen senk 
recht schneidet. Da also in diesem Fall X, Y, Z die 
Richtungskosinus der Normalen jener Fläche sind, so muß 
(2) XdS+Tdij + ZdC = 0 
sein. Setzt man die aus (1) sich ergebenden Werte für 
dg, dy, dC in (2) ein und beachtet, daß XX 2 = 1, XXdX — O 
ist, so folgt 
dt-\- XXdx = 0 
oder 
<»> 
Die rechte Seite von (3) muß wie die linke ein totales 
Differential sein, es muß also 
iiX x Pi=4-iX x Pi 
dv\^-i du) du\^—4 dv) 
sein. Hieraus aber folgt sofort 
(4) T)' = D[, 
also 
Satz 1. Die Gleichung (4) ist die notwendige 
und hinreichende Bedingung dafür, daß (1) ein 
Normalensystem ist. 
Ist (4) erfüllt, so ergibt sich t aus (3) in der Form 
Führt man diesen Wert von t in (1) ein, so erhält man 
die Gleichungen der Fläche, deren Normalen das Normalen 
system bilden. Wegen der willkürlichen Konstanten in (5) 
erhält man eine ganze Schar von Flächen (Parallelflächen), 
welche das Strahlensystem (1) orthogonal schneiden. 
In der geometrischen Optik spielen die Normalen 
systeme eine ganz besondere Rolle. Beispielsweise bilden alle 
Kommereil, Theorie der Raumkurven. II, 12