178 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Lichtstrahlen, die von einem leuchtenden Punkt ausgehen, 
ein Normalensystem. Erleiden nun diese Strahlen an einer 
Fläche (Linsenfläche) nach dem Snellins sehen Brechungs 
gesetz eine Brechung, so bilden die gebrochenen Strahlen 
ein Strahlensystem, das wiederum ein Normalensystem ist. 
Es gilt nämlich der 
Satz 2 (von Malus-Dupin). Erleidet ein von 
Lichtstrahlen gebildetes Normalensystem eine be 
liebige Anzahl von Reflexionen oder Brechungen, 
so bleibt es stets ein Normalensystem. 
Um diesen für die Optik wichtigen Satz zu beweisen, 
zeigen wir zunächst, daß ein Normalensystem nach einer 
Brechung an einer Fläche — der Leitfläche — wiederum 
ein Normalensystem ist. Dabei setzen wir natürlich voraus, 
daß die Leitfläche keine der Orthogonalflächen des Strahlen 
systems ist. Das Normalensystem (1), für das D' = Di gilt, 
erleide also an der Leitfläche eine Brechung und gehe über 
in das Strahlensystem 
(6) = x + t x , rj x = y + ¿i Y t , £i = e +Z ± . 
Ist nun e der Winkel, den der Strahl (X, Y, Z) des 
Systems (1) mit der Flächen norm alen {a, h, c) im Punkt P 
der Leitfläche bildet und ebenso der Winkel, den der 
gebrochene Strahl (X lt Y lf Z x ) mit der Flächennormalen 
bildet, so muß nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz 
sin e — n sin 
sein, wo n der Brechimgsindex ist; außerdem müssen die 
Z x ) und (a, h, c) in einer Ebene 
liegen. Daraus folgt leicht, daß 
(7) aw = X-{-nX i , bw=Y-\-nY x , cw = Z-\-nZ 1 
ist, wo w ein Proportionalitätsfaktor ist. Aus der ersten 
Gleichung erhält man durch Differenzieren 
ex ex, 
öu cu 
und addiert