§ 45. Übungsaufgaben zu Abschnitt II. 
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19) Besitzt eine auf einer Regelfläche gezogene Kurve 
zwei der drei folgenden Eigenschaften a) geodätische Linie, 
b) Striktionslinie zu sein, c) die Erzeugenden unter kon 
stantem Winkel zu schneiden, so besitzt sie auch die 
dritte (31). 
20) Man bringe das Linienelement einer Regelfläche 
auf die Form ds 2 = du 2 -j- \(u — a 2 ) -j- ß 2 ] dv 2 , wo die Kurven 
v = konst. die Erzeugenden und a, ß Funktionen von v 
allein sind. Man zeige, daß u= a die Gleichung der Strik 
tionslinie ist. Bezeichnet man ferner den Winkel, den die 
Tangentenebene im Mittelpunkt u = a einer Erzeugenden v 
mit der Tangentenebene im Punkte u derselben Erzeugenden 
bildet mit op, so ist tg cp 
(Chasles) (31 f.). 
21) Jede Ebene durch eine Erzeugende einer Regel 
fläche berührt die Fläche in einem Punkte P 1 der Erzeu 
genden und steht in einem Punkte P 2 dieser auf der Fläche 
senkrecht. Dreht sich diese Ebene um die Erzeugende, so 
geben T\ und P 2 eine Involution, deren Centrum der Mittel 
punkt ist (mit Hilfe von 20). Geometrisch zeigt man dies 
leicht so: durch drei konsekutive FJächenerzeugende g 1 , g 2 , g ?> 
ist ein Hyperboloid bestimmt, das längs g 2 mit der Fläche 
offenbar alle Tangentenebenen gemein hat. Nun gilt der 
Satz, wie leicht gezeigt wird, für jedes Hyperboloid, also 
auch für die Fläche. 
22) Man berechne für das Linienelement in Aufgabe (20) 
ß2 
das Krümmungsmaß Je. Man erhält so Jc=~r, —-——— 
[(« —a) 2 + /F] 2 . 
Hieraus folgert man, daß das Krümmungsmaß längs jeder 
Erzeugenden, für die ß^O ist, im Mittelpunkt sein Maxi 
mum hat und der Null sich nähert, je weiter man sich vom 
Mittelpunkt entfernt. 
23) Die Striktionslinie einer jeden Schar der Erzeugen 
den eines hyperbolischen Paraboloids ist eine Parabel (31). 
24) Man suche alle Regelflächen, die sich auf die 
Schraubenfläche x = u cos 
y = u sin -, z - 
v abwickeln 
lassen. Man zeige, daß die Erzeugenden der verbogenen 
Fläche stets die Binormalen einer Kurve mit der konstanten