206 II. Abschnitt. Spezielle Flächen. Strahlensysteme. 
Torsion =— sind. (Man benutze die Gleichungen von 
Freuet, Bd. I, § 6.) 
25) Jede Regelfläche kann so verbogen werden, daß 
eine beliebig auf ihr gezogene Kurve Asymptotenlinie 
wird (32). 
26) Jede Regelfläche kann so verbogen werden, daß eine 
beliebige auf ihr gezogene Kurve, die nicht Orthogonal- 
trajektorie der Erzeugenden ist, Krümmungslinie wird (32). 
27) Welches ist die Bedingung dafür, daß die Krüm 
mungslinien auf jeder Fläche eines dreifach orthogonalen 
Flächensystems ein isometrisches System bilden? (34.) 
28) Es gibt kein dreifach orthogonales System, wo 
jede Schar aus Minimalflächen (ausgenommen Ebenen) be 
steht (34). 
29) Zwei Scharen eines dreifach orthogonalen Systems 
bestehen aus Ebenen. Es sollen die Gleichungen des Sy 
stems angegeben werden (die dritte Schar besteht aus Cy- 
lindern (34). 
30) Der kürzeste Abstand dp der Normalen einer 
Fläche in den Endpunkten eines Linienelements ds läuft mit 
der zu ds konjugierten Richtung parallel (Beweis analytisch 
oder geometrisch (37). 
31) Die Enveloppe der Ebenen, welche in dem Grenz 
punkte jedes Strahles eines isotropen Strahlensystems senk 
recht zu diesem gezogen werden, ist eine Minimalfläche 
(Ribaucour) (39). 
32) Legt man durch einen Punkt P eines Strahles eines 
Strahlensystems eine zu ihm senkrechte Ebene und zieht in 
ihr eine unendlich kleine, den Punkt umschließende Kurve 
mit der Fläche df, so erhält man als sphärisches Bild aller 
Strahlen, die innerhalb df verlaufen, eine Fläche dcp. Das 
Verhältnis^nennt man das Dichtigkeitsmaß des Strahlen 
systems an der Stelle P. Ist nun t die Abszisse von P und sind 
und p 2 die Abszissen der Brennpunkte für den Strahl durch 
P, so ist das Dichtigkeitsmaß —% = , -. Für ein 
df { Ql -t){Q 2 -t) 
Normalensystem ist das Dichtigkeitsmaß in einem Punkte 
einer Orthovonalfläche identisch mit dem Krümmuno-smaß