14 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
(19) 
da Ddx dl) Ddy de D dz 
du ~E du’ du JE du’ du JEdu’ 
da JD" dx dh JD" dy de D" dz 
dv Gr dv’ dv Gr dv ’ dv Gr dv 
Endlich besteht noch ein wichtiges System von 
Gleichungen, welches die zweiten Ableitungen von 
x, y, z nach u und v darstellt durch die Größen a, 
h, c und die ersten Ableitungen von x, y, z nach u 
und v. Diese Gleichungen lauten für x 
d 2 x dx , dx , 
—- — p h q-z—\-Da, 
du 2 du dv 
(20) *’* 
du dv 
d' 2 x 
dv 2 
,dx ,dx 
-~P ^77+V 
dv 
' P 8u + q Bv +V a ’ 
wo p, q, p', q', p", q" die in § 1, (22) definierten Werte 
sind. Aus (20) erhält man zwei weitere Systeme von Glei 
chungen, wenn man x, y, z und, a, 5, c gleichzeitig zyklisch 
vertauscht, während die Größen p . . q", JD, JD', JD", un- 
geändert bleiben. 
Es genügt, eine der drei Gleichungen (20) zu beweisen,, 
z. B. die erste. Nach (11) ist 
dx 
dx 
du 
dv 
dy_ 
du 
dv 
dz 
dz 
du 
dv 
0 -tA- -A- 
0 ^ 
Entnimmt man aus (13 a) den Wert von D, und bildet 
das Produkt Da durch Kombination der Yertikalreihen, so 
folgt leicht 
d 2 x dx dx 
du 2 du dv 
% JE F 
1 F G 
Da 
G 
b( 
ist 
un 
ob' 
Flä 
bes 
usv 
leiti 
usw 
gröl 
wob 
gefü 
und 
Kel